バンドギャップができる理由って結局？

質問

固体物理の参考書にある手法で、バンドギャップ近傍の波動関数を二つの平面波の線形結合で近似し、E-K関係式を求めたらEの値が二つ求まって（E+とE-）、第一ブリルアンゾーン境界でのE＋とE-の差がバンドギャップとして描かれていますよね。第一ブリルアンゾーン境界でE＋とE-が入れ替わってますよね？
この理由はなんでしょう？

回答No.2

snobbery · ベストアンサー

「自由電子モデル」に対して、格子によるポテンシャルを考慮に入れると「周期ポテンシャル中の電子モデル」になります。これによってバンドギャップが生まれます。

波動関数を平面波の線形結合で表す。
→格子の周期性に従う事を考慮に入れるため、波の重ね合わせとして表す。

二つの平面波で表す。
→議論を簡単にするために二個の電子状態で説明している。

第一ブリルアンゾーン境界でE＋とE-が入れ替わっている
→還元ゾーン形式、拡張ゾーン形式ではそう見えます。
周期ゾーン形式を見ると分かるように、エネルギーはバンド内でｋの周期関数になっています。つまり、外からエネルギーを与えられない限り、第一ブリルアンゾーンのE＋の電子軌道は第二ブリルアンゾーンのE＋の軌道に滑らかに繋がっています。
また、拡張ゾーン形式はひとつの電子について表しています。ブラッグ面で曲線が途切れているのは、格子の原子核によるポテンシャル障壁があるためです。

私も勉強中の身なので、専門家の意見を待ちましょう。

補足

大まかに理解できましたが、肝心のところがまだわかりません(汗)

え、要するに原子核の影響でE+とE-が入れ替わったということでしょうか？だとするとそこら辺を式でどうにか表せないでしょうか？(汗)

ちなみに第二ブリルアンゾーンのE＋の軌道は何を表しているんでしょうか？

回答No.3

snobbery

＞具体的にこの式からバンドギャップは導かれる！
私もアシュクロフトマーミンで勉強中しましたが、
(9・26)式に(9・4)式を代入してコツコツ計算すると図9.3が得られましたよ。(漸近線考えたり、結構大変な計算でしたが。)

＞要するに原子核の影響でE+とE-が入れ替わったということでしょうか？
この『入れ替わる』という表現がいまいち分からないのですが、要は1電子のEk図を描くと途切れているところの前後グラフがE-の根に従うグラフとE+の根に従うグラフに分かれていることがわからないということでしょうか？

＞ちなみに第二ブリルアンゾーンのE＋の軌道は何を表しているんでしょうか？
第一ブリルアンゾーンが含む逆格子点(Ek図では逆格子空間の原点としている）に隣接する逆格子点によるポテンシャルに従う軌道を表すと思います。

しかし、自信はないので専門家の人の是正が待たれます(苦)

スミマセンorz

お礼

お礼じゃなく補足の補足です。
自分も大雑把にグラフを書いてみたんですが、あれってE+もE-もｋについての＋の放物線でキッテルの上P186に出ているように－の放物線にはならないですよね？

補足

回答ありがとうございます。

入れ替わるというか、E＋とE-を選択するのになんの理由で選択しているのかわからない、という感じです。第一ブリルアンゾーン内ではE＋を取らねばならない、第二ではE-を取らねばならない理由はどんなものなんでしょうか？

＞第一ブリルアンゾーンが含む逆格子点(Ek図では逆格子空間の原点としている）に隣接する逆格子点によるポテンシャルに従う軌道を表すと思います
逆格子点によるポテンシャルということは、逆格子点一つ一つはどんなポテンシャルをもつという考え方でしょうか？

回答No.1

wata717

バンドギャップを考える前に，先ず結晶の存在を考えなければなりません．結晶とは原子が周期的に配列している物質です．そこに存在する波動（電子波，音波，光波）は周期的に配列した原子と何らかの相互作用を受けています．これを結晶ポテンシャルと呼び，波動の種類毎にこのポテンシャルの内容は異なりますが，周期的であるという点は共通です．この共通性は数学的には結晶ポテンシャルはフーリエ級数項（平面波）に展開して表されるという事になります．平面波は指数関数で表され，この関数は２つのパラメータ：振幅と位相をもち，位相は位置ベクトルと波数ベクトルの積として表示されます．振幅はバンドギャップの大きさに直接関係します．また平面波の展開数は多いほど精度が向上しますが数学的困難さに直面し，通常２つで二波近似と呼びます．
結局バンドギャップができる理由は結晶の周期性です．ブリルアンゾーン近傍は波動の中で波長が短いものの集まりで，従って結晶ポテンシャルの影響を受けやすくなります．なお波動の波長は最短でも結晶周期の２倍です．

補足

＞パンドギャップができる理由が周期性。
この言葉は何度も聞いてるので違和感はないのですが、では非周期的な原子配列のなかにはEのとびはないのでしょうか？どちらかというとバンドができる理由が周期性のようなイメージを持ってるんですが。

＞ブリルアンゾーン近傍は波動の中で波長が短いものの集まりで，従って結晶ポテンシャルの影響を受けやすくなります．なお波動の波長は最短でも結晶周期の２倍です．
波長が短いと影響を受けやすいのではなく、格子定数aとブリルアンゾーン近辺の波動の波長が近くて共鳴している、ようなイメージを持っているのですがどうでしょうか？

具体的にこの式からバンドギャップは導かれる！っていう解説が聞ければとても嬉しいです(汗)
ちなみに持ってる参考書はキッテル「固体物理」、御子柴「半導体の物理」、アシュクロフトマーミン「固体物理の基礎」です！読んではいるんですが、これがバンドギャップの正体だという納得できる説明がないんです、なぜE＋とE-が入れ替わるんでしょう？よろしくお願いします！