にゃんこ先生、接二次曲線というものを考える

質問

平面における滑らかな曲線上の一点とその近傍を考えます。

一次関数で近似することは、接線と呼ばれます。
一次の係数の符号で、右肩上がりか右肩下がりかが判別できます。
一次の係数の符号が変化する場所は、極値と呼ばれます。

二次関数で近似するとします。
ニ次の係数の符号で、凹凸が判断できます。
ニ次の係数の符号が変化する場所は、変曲点と呼ばれます。

n次関数で近似することは、テイラー展開と呼ばれます。

円で近似することは、曲率円と呼ばれます。
曲率円の半径の逆数で、曲がり具合が判別できます。

ここで考えたのが、二次曲線で近似することです。
統計的に集められた点を、二次曲線で近似しながら結ぶという話は聞いたことがありますが、ここでは、y=x^3上の点(a,a^3)の近傍とか、y=e^x上の点(a,e^a)の近傍を、二次曲線で近似するという意味です。
二次曲線は異なる5点で決定するので、近傍の5点をとって二次曲線を作り、その極限を考えればよさそうですが、計算が複雑ゆえに、上の参考例の二次曲線近似さえ手計算できていません。
計算できた方は、計算の仕方や結果を教えていただけないでしょうか？

また、二次曲線を楕円、放物線、双曲線と分類すると、二次曲線近似が放物線になるときは、通常は一瞬だけだと思います。
なにかのもとの曲線があり、その上の点の近傍での二次曲線近似が放物線になるときを、視覚的に感じられたりできるのでしょうか？
また、二次曲線近似が、楕円→放物線→双曲線と変化していくようないい例があればぜひ教えてください。

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

ANo.2へのコメントについてです。

　既に基本的な算法は確立できたようで、にゃんこ先生ほどの実力がおありなら、あとは楽しみながら研究できそうな問題だと思いますんで、あんまりごちゃごちゃ申し上げるのはやめときます。
　いや正直言うと、接二次曲線を局所的な近似曲線（スプライン関数のようなもの）として使う分には、それが遠方でどうなっているかの分類はさしたる意味を持たないように思われるので、もひとつ興味が湧かないんですよぉ。ところで、「自動車道路のカーブを設計するにあたって、ハンドルを操作しやすくするにはどんなカーブが良いか？」という話を連想しました。ハンドルの回転角度を時間の関数と見たとき、少なくとも3階微分までは滑らかになるように考慮しなくちゃいけないでしょうから、この話と繋がってきそうです。

> フーリエ変換の意味での「位相」成分というのはいまいちよくわからないのですが。
>これを
>Vcos(2θ+A)+Wcos(θ+B)+1=0
>などと変形したときのAとかBの意味でしょうか？

　仰るとおりです。双曲線ではθの代わりにiθを使う（三角関数の代わりに双曲線関数を使う）ことになりますけどね。

お礼

まことにありがとうございます。

僕が前回書いた、
「xy平面上の曲線y=f(x)上の1点の近傍を二次曲線近似することは、
球面x^2+y^2+z^2=1上の曲線(x:y:z)=(x:f(x):1)上の1点の近傍を円近似することに相当する。」
というのはそのままでは間違っていました。

3次元空間で、原点を頂点とする直円錐を、平面z=1で切断すれば、二次曲線が現れるが、平面z=1に描かれた任意の二次曲線は、原点を頂点とする「直」円錐上にあるとは限りませんでした。

3次元空間で、原点を頂点とする直円錐を、平面z=1で切断して現れる二次曲線の条件を考えると、まず、2つの焦点を結ぶ直線が点(0,0,1)を通ることが必要ですが、十分条件はよくわかりませんでした。

stomachmanさんがNo1で書かれた、元の曲線をアフィン変換することに僕は今まで同調してきませんでしたが、それは別の意味でいいアイデアだと思うようになりました。

元の曲線上の1点とその近傍を二次曲線近似すると、自由度は5です。
二次曲線の2つの焦点を結ぶ直線(軸)が原点を通るように平行移動し、なんらかの拡大変換をして自由度を3にします。
すると、二次曲線を平面z=1に持ってきて、原点を中心として、球面x^2+y^2+z^2=1上に射影すると、円になると思います。(円の自由度は3）

いろいろ考えてみて、これらのことは視覚的な意味も持ちにくいし、すぐに役立つものでもなさそうに思えてきました。
初期には、関数のテイラー展開の類似で、
曲線のn次曲線近似でn→∞を考えるとどうなるか、とか、
曲線のパラメータtによるn次関数近似でn→∞を考えるとどうなるか、
と考えていましたが、それもすぐに役立つものではなさそうですね。
予断ですが、曲線(関数)を有理関数近似することは、連分数展開と関連あったように記憶しています。

回答No.2

stomachman

ANo.1へのコメントについてです。

>y=e^xの一点とその近傍による二次曲線近似は、視覚的には、左のほうで双曲線近似、右のほうで楕円近似になっている気がします。

　そうかなあ。
y=e^x
の(x,y)=(a, e^a)での接二次曲線は、線形変換
Y=y/(e^a)
X=x-a
で
Y= e^X
の(X,Y)=(0,1)での接二次曲線に写るから、ANo.1の後半の例と同じく、aを動かしても曲線の種類が変わることはないでしょ。

>曲線の曲がり具合の変化が大域的見て、楕円みたいに元に戻ってくるような軌道か、双曲線みたいに元に戻ってこない軌道かは、
…
> （二次曲線の離心率の値と1との大小関係と同値）
> で判断できる気がします

　えーと、それは接二次曲線の定義と離心率の定義から自明かと。

> 曲率・曲率半径・曲率円の中心という概念は、
> 離心率・焦点と頂点との距離・焦点という概念に対応させて考えられる気がします。

　ANo.1前半に書いた変換を考えれば、接二次曲線は曲率円（半径だけが自由度）よりも自由度が２つ大きいのは明らかです。仰るとおり、そのひとつは離心率で表現できるでしょう。もうひとつは、非対称性（二次曲線の軸の傾き。あるいは、三角関数(sinとcos、あるいはsinhとcosh)を使って表現すれば、フーリエ変換の意味での「位相」成分に相当）をあらわす自由度ですね。

お礼

おっしゃるように、二次曲線近似の視覚的な様子が漸近線と関連あると書いたのは間違いでした。すみません。

二次曲線近似の式をxで微分していって、
P(x^2)+Qxy+R(y^2)+Sx+Ty+U=0
2Px+Q(y+xy')+2Ryy'+S+Ty'=0
2P+Q(2y'+xy'')+2R(y'^2+yy'')+Ty''=0
Q(3y''+xy''')+2R(3y'y''+yy''')+Ty'''=0
Q(4y'''+xy'''')+2R(4y'y'''+3y''^2+yy'''')+Ty''''=0

y=e^x上の点(a,e^a)の近傍が二次曲線に接触しているとして、
x=a
y=e^a
y'=e^a
y''=e^a
y'''=e^a
y''''=e^a
を代入して、

Pa^2+Qae^a+Re^2a+Sa+Te^a+U=0
2Pa+Q(a+1)e^a+2Re^2a+S+Te^a=0
2P+Q(a+2)e^a+4Re^2a+Te^a=0
Q(a+3)e^a+8Re^2a+Te^a=0
Q(a+4)e^a+16Re^2a+Te^a=0

これを解いて、

Q=-8Re^a
T=(8a+16)Re^a
P=-2Re^2a
S=(4a-10)Re^2a
U=(-2a^2+10a-17)Re^a

よって、y=e^x上の点(a,e^a)の近傍での二次曲線近似は、

-2e^2a(x^2)-8e^a(xy)+(y^2)+(4a-10)e^2(x)+(8a+16)e^a(y)+(-2a^2+10a-17)e^a=0

ここで、判別式Q^2-4PR=64e^2a-4*(-2e^2a)=72e^2a>0
なので、二次曲線近似は双曲線ということがわかりました。

補足

曲線上の点でのy'''の符号が視覚的に判断できないように、二次曲線近似の判別式の符号も普通は視覚的に判断できないかもしれません。

でも、xy平面上の曲線y=f(x)を、
xyz空間の平面z=1上の曲線(x,f(x),1)とみなし、
原点と点(x,f(x),1)を結ぶ直線と、球面x^2+y^2+z^2=1との交点の軌跡を考える。
つまり、球面x^2+y^2+z^2=1上の曲線(x:y:z)=(x:f(x):1)を考えてみたら、二次曲線近似の判別式の符号も視覚的に判断できないでしょうか？
二次曲線は別名円錐曲線、つまり、原点を頂点とする円錐を平面z=1で切断したものと考えられるので、
xy平面上の曲線y=f(x)上の1点の近傍を二次曲線近似することは、
球面x^2+y^2+z^2=1上の曲線(x:y:z)=(x:f(x):1)上の1点の近傍を円近似することに相当する。
その円近似が、球面x^2+y^2+z^2=1上の赤道z=0と交わるか交わらないかが、二次曲線が双曲線近似になるか楕円近似になるかに相当する。

自由度というのは、二次曲線近似したときに、どんな二次曲線のどの部分と近似できるか、つまり、
離心率と「接線と二次曲線の軸との角度」で決まるということですよね。
二次曲線の軸というのを、2つの焦点を結ぶ直線だとします。
与えられた曲線y=f(x)上の1点(a,f(a))の近傍での離心率と「接線と二次曲線の軸との角度」の組を考え、例えばa→∞のとき、
離心率→(1より大きい一定の値)(つまり二次曲線近似はある双曲線)
「接線と二次曲線の軸との角度」→(ある双曲線の漸近線と軸との角度)
だったら、与えられた曲線はa→∞のとき漸近線を持つということはいえないでしょうか。
離心率と「接線と二次曲線の軸との角度」の変化と、漸近線を持つということに関連はあるでしょうか？

フーリエ変換の意味での「位相」成分というのはいまいちよくわからないのですが。

二次曲線P(x^2)+Qxy+R(y^2)+Sx+Ty+U=0
を極座標表示して、
Pr^2cos^2θ + Qr^2cosθsinθ + Rr^2sin^2θ + Srcosθ + Trsinθ + U = 0
これを
Vcos(2θ+A)+Wcos(θ+B)+1=0
などと変形したときのAとかBの意味でしょうか？

回答No.1

stomachman

直接の回答にはなってませんが。
　(x,y)平面(R^2平面)上の滑らかな曲線について、曲線上の点(x1, y1)での接二次曲線を考えるには、その点が原点になり、その点での接線がx軸になるようにアフィン変換してやれば簡単になりそうです。まず曲線を平行移動して注目する点(x1, y1)を原点に移し、さらに原点のまわりで回転して、曲線が原点でx軸に接しているようにすることができる。なので、(x,y)=(0,0)においてf(x,y)=0に二次曲線g(x,y)=0が接する場合を考えりゃいい。その二次曲線はどうなっているかというと、
g(x,y)=P(x^2)+Qxy+R(y^2)+Sx+Ty+U
と書くと、g(x,y)=0が(0,0)を通るのだからU=0。また、xで微分して
2Px+Q(y+xy')+2Ryy'+S+Ty'=0
より(x,y)=(0,0)では
y' = -S/T
が0にならなきゃいけないんですからS=0。よって、
g(x,y)=P(x^2)+Qxy+R(y^2)+Ty
と、当然ながら、実質3つのパラメータが残る。
　f(x,y)=0もg(x,y)=0も原点でx軸に接している曲線なので、原点におけるxによる2,3,4階微係数を考えればこれらのパラメータが決定できるでしょう。（なので、極限操作は特別な場合以外は必要なさそうです。）

　y=x^3上の点(a,a^3)での接曲線であれば、a≠0の場合、まずx,yを定数倍した座標系(X,Y)
x=aX
y=3(a^3)Y
を考えれば(こうしても、「接曲線が楕円なのか双曲線なのか」の区別は影響を受けないってことは自明かと思います）
3Y=X^3
の点(1,1/3)での接曲線を問うことになる。(1,1/3)が原点になるように平行移動して
3Y+1=(X+1)^3
（言うまでもなく、このX,Yは最初のX,Yとは別物です。）さて、上記の変換は、この点での接線の傾きが1になるように決めたのです。なので座標系を45°回して接線がx軸と一致するように
X=x-y
Y=x+y
と変換してやると、（言うまでもなく、このx,yは最初のx,yとは別物です。）
f(x,y)=x^3-3(x^2)y+3x(y^2)+y^3+3(x^2)-6xy+3(y^2)-6y=0
でいいかな。それに、xによる微分を( ' )で表すことにしてf'が(0,0)で0になることを確認して下さいな(stomahcmanは計算間違いの常習犯なので）。あとはf'', f''', f''''の(0,0)での値に一致するように、P, Q, R, Tを決めてやるという計算ですが、めんどくせーっす。
　それはさておき、上記の計算でaは途中から出て来なくなりました。座標変換の中にaが埋め込まれてしまったわけです。一方、接曲線が楕円なのか双曲線なのかの区別はその座標変換によって変化しないんですから、(少なくともa≠0なら)y=x^3の接曲線の種類が変わることはない、と分かります。一般に陽にy = F(x)と表され、微分が簡単に計算できる曲線の(a,F(a))での接曲線についてなら、（特別な点を除いては）同じ処方が機械的に使えそうな気がします。

お礼

ご返答まことにありがとうございます。

二次曲線近似を、近傍の5点をとって二次曲線を作って極限をとるのでなく、0,1,2,3,4階微係数の比較として捉えれば計算しやすくなるのですね。

二次曲線近似の式をxで微分していって、
P(x^2)+Qxy+R(y^2)+Sx+Ty+U=0
2Px+Q(y+xy')+2Ryy'+S+Ty'=0
2P+Q(2y'+xy'')+2R(y'^2+yy'')+Ty''=0
Q(3y''+xy''')+2R(3y'y''+yy''')+Ty'''=0
Q(4y'''+xy'''')+2R(4y'y'''+3y''^2+yy'''')+Ty''''=0

y=x^3上の点(a,a^3)の近傍が二次曲線に接触しているとして、
x=a
y=a^3
y'=3a^2
y''=6a
y'''=6
y''''=0
を代入して、

Pa^2+Qa^4+Ra^6+Sa+Ta^3+U=0
2Pa+4Qa^3+6Ra^5+S+3Ta^2=0
2P+12Qa^2+30Ra^4+6Ta=0
24Qa+120Ra^3+6T=0
24Q+360R=0

これを解いて、

Q=-15Ra^2
T=-40Ra^3
P=195Ra^4
S=-216Ra^5
U=75Ra^6

よって、y=x^3上の点(a,a^3)の近傍での二次曲線近似は、

195a^4(x^2)-15a^2xy+(y^2)-216a^5x-40a^3y+75a^6=0

ここで、判別式Q^2-4PR=225a^4-4*195a^4=-555a^4
なので、二次曲線近似はa=0のとき放物線、a≠0のとき楕円ということがわかりました。

なにかある曲線の二次曲線近似の変化が楕円として変化していくか・双曲線として変化していくかについて、視覚的には、漸近線を持たない・持つことに対応しているような気がします。

y=e^xの一点とその近傍による二次曲線近似は、視覚的には、左のほうで双曲線近似、右のほうで楕円近似になっている気がします。
すると、どこか一箇所で放物線近似になっていてほしいけど。

曲線の凹凸は、二階微分係数の符号（曲率の符号と同値）で判断できましたが、
曲線の曲がり具合の変化が大域的見て、楕円みたいに元に戻ってくるような軌道か、双曲線みたいに元に戻ってこない軌道かは、
二次曲線近似P(x^2)+Qxy+R(y^2)+Sx+Ty+U=0の判別式Q^2-4PRの符号
（二次曲線の離心率の値と1との大小関係と同値）
で判断できる気がします。

曲率・曲率半径・曲率円の中心という概念は、
離心率・焦点と頂点との距離・焦点という概念に対応させて考えられる気がします。
でもその表示は具体的にできるのかなあ？