(∇^2-εμ∂^2/∂t^2)E=0を解く

質問

真空中を伝わる電磁波、E=(E_x,E_y,E_z), H=(H_x,H_y,H_z)には、
∇×E=-μ∂H/∂t, ∇・E=0, ∇×H=ε∂E/∂t, ∇・H=0
が成り立っている。

(∇^2-εμ∂^2/∂t^2)E=0 の３次元の一般解を求め、波が縦波か横波であるか証明せよ、最後にこの結果から言える物理的現象を記述せよ。

この問題を教えてください。
物理学カテでも同様の質問をしたりネットで調べたりして、後半の物理学の知識を使った証明については、どうすればよいのか分かったんですが、「解がこのように(sinやcosやexp)おけるので」ということで、スタートさせていました。
工学部の大学院入試なんですが、数学科目の問題であるため、これでは厳密性にかけると思うので、解をどのようにおけばよいのか教えてください。

自分が
混乱している点
電磁波には球面波、平面波があるが、どちらか記述がないので、球で考えるか円筒で考えるかが分からず、文字の置き換え•近似は出来ない。
→球面と平面の場合で分けて考えるか、もっと一般的にダランベールの解から行くか。

偏微分方程式を変数分離で解いてみたが、境界条件や初期条件がないため、項が簡単にならず、縦波か横波かの証明で狙った答えが得られず。
→フーリエ級数展開までいく必要はないので、もっとシンプルに解けるのではないか。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

球面波と平面波しかないというんじゃ、それは一般解ではないな。線形性を証明すれば適当な直交関数系を使った展開ができます。

> →フーリエ級数展開までいく必要はないので、もっとシンプルに解けるのではないか。

フーリエ級数は充分シンプルだと思うけどな。局所だけに注目すれば平面波の合成になってるんだし。

> 縦波か横波かの証明で狙った答えが得られず。

縦波ならスカラー波でしかありえないでしょ。

> 球で考えるか円筒で考えるかが分からず

座標系は最初に

> E=(E_x,E_y,E_z), H=(H_x,H_y,H_z)

とある通りでは？

お礼

ありがとうございます。それを元にもう少し考えてみます。