方程式の解き方を教えてください。

質問

逆行列を ^(-1) で、転置を ^T で表すことにします。
k：自然数
Δ：既知のスカラー値
Ａ：既知の、kに依存しない10×10行列
y：既知のkに依存するスカラー値
b：未知のkに依存しない10×1ベクトル
c：未知のkに依存しない10×1ベクトル
E：10×10単位行列
とします。これらが次の式を満たす時のb,cを求めたいのです。

　y(kΔ) = c^T A^(-1) (exp(kAΔ)-E)b (k=1,2,3,.....)

この制約式を厳密に満たす必要はありません。
２乗誤差が最小になるようなくらいでいいです。

回答No.1

motsuan · ベストアンサー

前処理としては（べつにやらなくてもまったく問題ないとは思いますが）
u^T=c^TA^(-1)(exp(AΔ)-E)と置とおいて
y((k+1)Δ) -y(kΔ) = u^T exp(kAΔ) b
とするのでしょうかね。あとは
bを固有値αn (n = 1,2,...,10)なる
Aの固有ベクトルの列{bn; n=1,2,...10}（とくに規格化してません）であらわして
y((k+1)Δ) -y(kΔ) = Σ{nについての和}} exp(kαn Δ) (u^T.bn)
から(u^T.bn)を求めればよいのではないでしょうか？
c,bはそれぞれ大きさを決めて(u^T.bn)からもとめればよいかと思います。

補足

回答ありがとうございます。
>bを固有値αn (n = 1,2,...,10)なる
>Aの固有ベクトルの列{bn; n=1,2,...10}（とくに規格化してません）であらわして
>y((k+1)Δ) -y(kΔ) = Σ{nについての和}} exp(kαn Δ) (u^T.bn)

bをAの固有ベクトルbnで表す時、bは未知ベクトルですから、
b = Σβnbn (βnは未知のスカラー値）
と表せると思います。この未知数βn(n=1,...10)も式にきちんと入れると、
y((k+1)Δ)-y(kΔ) = Σ{nの和}βn exp(kαn Δ)(u^T.bn)
となるはずで、βnが既知なら(u^T.bn)は求まりますが、実際には未知なので求まりません。βn(u^T.bn)をひとかたまりの変数と見て制約式から求めることはできますが、
βn(u^T.bn) = (nに依存する既知の値)
からβn,u^Tをどうやって求めればいいのでしょうか？

回答No.2

motsuan

>βn(u^T.bn)をひとかたまりの変数と見て制約式から求めることはできますが、
必然的にそうなるのでは？
βn(u^T.bn)を見ればわかるように恣意性があります
（方程式の形がy=cMbとなっているため、cをk倍、bを1/k倍しても変わらないためです）。
「c,bはそれぞれ大きさを決めて」といっているのはそういうことです。
そして、それぞれ大きさを決めるのだからbnのノルムは関係ないので
規格化しないと書きました。ちなみに、b=Σβnbnとしてをβnを適当に決めれば
求められた値＝βn(u^T.bn)=c^T(A^(-1)(exp(AΔ)-E).bn)
=(αn)^(-1)(exp(αnΔ)-1)(c^T.bn)
でcが求められます。