曲面の方程式

質問

あるベクトル関数E(x,y,z)が与えられたとします。このベクトルの法線方向を表す曲面を求める方法が分かりません。
例えば、ベクトル関数E=(x,y,z)が与えられている場合、その法線を表す曲面は
　x^2+y^2+z^2=const
又は、|E=(a,b,c)|=kの初期条件を元に
　x^2+y^2+z^2=k^2
となるはずです。
ご存知の方いらっしゃいましたらよろしくお願いします。
工科系の人間なので、微積分学の教科書のように厳密にではなく、簡素に説明していただけたら幸いです

回答No.3

info22 · ベストアンサー

>本当にE=-gradΦが解けるのかは依然として疑問です。
解けるとはどういう意味でしょうか？
等電位面の関数の式が初等関数でかけることなら、特別な場合しか解けないですね。
等電位面の曲面の方程式を初等関数で表せなくても、数値計算で等電位面を2次元または三次元でプロットできるなら解けるというなら解けますね。

A#2の2番目の参考URLの例や
http://www.phys.u-ryukyu.ac.jp/~maeno/cgi-bin/pukiwiki/index.php?%C5%C5%BC%A7%B5%A4%B3%D82007%C7%AF%C5%D9%C2%E810%B2%F3
では電界ベクトルと等電位面（線）を色々数値計算で求めてプロットしています。

等電位面は、電界の大きさの等しい点の集まりの曲面ですが、その曲面は常に数式で表すことが出来るとは限らない。曲面の式は
E↑＝-grad(V)を解いてV(x,y,z)=kで出てきますが、積分して求める関係で、積分できない関数が沢山あり、その中でも特殊関数（超越関数）として定義された関数を使ゥことで、関数表現出来ます。しかし特殊関数が定義されていない場合は、関数を無限級数展開を使って表したり、数値計算で近似値を求めて曲面を座標点の連結で表現したりします。
物理現象なら、電界が座標点毎に成分表現があれば、等電位面も同様にして等電位面上の点を求めてそれらの間を補完して連結し面にしてやることで等電位面を描くことが出来ます。

お礼

回答有難うございます。
やはり一筋縄ではいなかいのですね。
数値計算は最近勉強し始めたので、履修次第取り掛かってみようと思います。

回答No.2

info22

>法線　→　法線群(これも怪しい表現ですが...)
適当な表現ではないですね。
要するにベクトル関数E(x,y,z)の対する等ポテンシャル面群を求める方法ではないですか？

電界ベクトルE↑に対する等電位面群Vを求めることに相当しますので
E↑(r)=-grad(V)
V=-∫[-∞→r] E↑(r)・(n↑)dr
(n↑)は法線ベクトル、r↑は位置ベクトル(rはその大きさ）

これを当てはめれば
E(x,y,z)=-grad(V)を解けいて
等ポテンシャル面の方程式の式
V=C（定数）
（Cは特定の点のポテンシャルを与えれば確定します）
を求めればいいと思います。

参考）
http://yamamoto-akira.org/butsuriya/ele-text/node4.html
http://aquarius10.cse.kyutech.ac.jp/~otabe/denjiki/

お礼

回答有難うございます。
そうなんです。質問の目的は等電位面群を求めることなのでして、等電位面群を与える微分方程式は　E=-gradΦ　(Φ=const)　なのですね。分かりました。
しかし、本当にE=-gradΦが解けるのかは依然として疑問です。ガウスの法則のように、特定の場合にしか解けないのでしょうか。

回答No.1

info22

法線は直線です。

>　x^2+y^2+z^2=k^2
>となるはずです。
これは曲面の式（球面の式）です。
法線にはなり得ません。

お礼

回答有難うございます。
　　法線　→　法線群(これも怪しい表現ですが...)
の記述ミスです。失礼しました。

あるベクトルE(x,y,z)において、垂直に交わる微小平面dSが考えられます。dSの淵におけるベクトルE(x+?,y+?,z+?)は同様に新しくdSを作ります。それらを連鎖的に続けていけば、球面の式になると思うのです。
説明が難しいのですが、電磁気学でいえば、電場ベクトルと等電位曲面の関係に似ていると思います。
これを、原点から発散するEのみではなく、一般的に導出する方法はありますでしょうか。