4次正方行列の根号

質問

A^2=Bにおいて、行列Aが未知で行列Bが既知数のとき、この式を数学的に解くことは可能でしょうか。

可能でしたら、もしよろしければ解き方も教えてください。よろしくお願いいたします。

回答No.4

Tacosan

A の固有値を λ, 対応する固有ベクトルを x とおくと B = A^2 の固有値は λ^2, 対応する固有ベクトルは x.

逆に B の固有値を λ, 対応する固有ベクトルを x とすると A^2 = B なる A の固有値は √λ, 対応する固有ベクトルを x とできる.

もちろん固有値に重解を持つときはこんなに単純じゃないけど, いずれにしても B を対角化する (あるいはジョルダン標準形を求める) ことができればほぼ終わり.

お礼

回答ありがとうございます。
いま４次正方行列の固有値と固有ベクトルを求める方法を探索しています。

補足

４次正方行列の固有値と固有ベクトルを求める方法はございますでしょうか。

回答No.3

Tacosan

逆行列? なんで?

一般に A の固有値を λ とすると f(λ) は f(A) の固有値になるよね.

お礼

回答ありがとうございます。

補足

すいません。
固有値と固有ベクトルをどう使ってイメージを掴むのかよくわかりません。
もしよしければ教えていただけませんでしょうか。

回答No.2

Tacosan

理論上は 16個の変数に対して 16本の方程式だから解けるはずなんだけどね....

もちろんそうやって求めたものは (実のものが存在する場合であっても) 複素数になるかもしれないし, たとえ実であったとしても「期待するもの」になることは保証できない (複雑怪奇なものが出てきてしまうかもしれない).

まあ, 「イメージ」だけでいいなら, 固有値と固有ベクトルを求めてしまえば「勝ち」だけど.

お礼

回答ありがとうございます。

補足

>>まあ, 「イメージ」だけでいいなら, 固有値と固有ベクトルを求めてしまえば「勝ち」だけど

それは、Bの固有値と固有ベクトルを使ってBの逆行列を求めるということでしょうか。

回答No.1

Tacosan

「数学的に解く」とはどういう操作でしょうか?

お礼

質問の意図がわかりづらくすみませんでした。
ご回答ありがとうございました。

補足

行列Bから行列Aの中身を求めたいんですが、可能でしょうか。