不定積分∫(sin x)^(-4)(cos x)^(-2)dxの計算
「解析学序説」上（一松信）ｐ77の不定積分∫(sin x)^(-4)(cos x)^(-2)dxに挑戦してみました。I(m,n)＝∫(sin x)^m(cos x)^ndxの漸化式を何回か使うと結果が出るのですが、私の出した式と巻末解答とがあまりに違いすぎるのです。
(1) I(-4,-2)=1/(((sin x)^3)cos x) - 4cos x/3(sin x)^3 - 8cos x/3sin x
（私が出した解答、または通分すると(2)になります）
(2) (3 - 12(cos x)^2 + 8(cos x)^4)/(3(sin x)^3)cos x
ところが、巻末解答は次のようです。
(3) -1/(3((sin x)^3)cos x) - (8/3)cot 2x
＊ 巻末解答には、8/3(正)と3/8（誤）の誤植があります。
(2)と(3)とはかなり違った形をしていますが、(3)を２倍角の公式を使って計算していくと(2)になりますので、一件落着というわけですが、どうも気にかかることがあります。
＃＃ I(m,n)＝∫(sin x)^m(cos x)^ndxの漸化式を使うとまず、(1)に到達するのではないでしょうか。すると(1)から(2)を出すのは簡単としても、(2)から同値変形をしていって(3)に達するのはかなり大変な作業ではないかと思われるのになぜ、(1)または(2)で止めなかったのか不思議です。
なお、岩波全書の「数学公式1」 P183も丸善の「数学大公式集」（大槻義彦 訳、1983年）P139も I(-4,-2)を上の(3)で与えてあります。わざわざcot2xにする必要はあるのでしょうか？
何か全く別の観点からの算出という感じがしてならないのですが、思い過ぎでしょうか？
ご指導、よろしくお願いいたします。
お礼
ありがとうございました