フェーザ法についてです。

質問

フェーザ法についてです。

電圧源が sin[wt] もしくは cos[wt] の関数になっている時、e^(iwt)＝cos[wt]＋i sin[wt] という公式から、

sin[wt]もしくはcos[wt] 　→　e^(iwt)

と置き換えて計算するというものなのですが、これは、電圧源cos[wt]をe^(iwt)に置き換える際にsin[wt]の項を無視しています。
これを含めて計算していくと、その分の誤差が出てしまいます。
なぜ、この「無視」が許されるのでしょうか？

回答No.2

foobar · ベストアンサー

#1お礼欄に関して。

>L(d/dt)I＋RI＋(1/C)∫Idt＝Em・cos(wt)
>について考える。右辺の電圧は下のように変形できる。
>Em・cos(wt)＝Em (exp(iwt)+exp(-iwt))/2
ここまではOKです。

>　　　　　　　 ＝(Em/2) [exp(-2iwt)＋１] exp(iwt)　
これは不要です。

>I＝Im・exp(iwt)　を代入すると、
ここは、電圧に準じて、i=Im*cos(wt+θ)=Im*(exp(iθ)exp(iwt)+exp(-iθ)exp(-iwt))/2
となります。

で、iを微分方程式にいれて展開、整理すると、exp(iwt)とexp(-iwt)の二つの項にまとめることができて(exp(iwt),exp(-iwt)共に微積分で係数が変わるだけ）、それぞれを右辺と比較すると、exp(iwt),exp(-iwt)の係数を比較（計算）することになります。
しかも、両者の係数は複素共役になるので、どちらか一方を計算すれば済みます。

と、まあ、こんな感じになるんですが、フェーザの説明ではこの部分を簡単に
cos(x)=Re[exp(ix)]で済ませることが多いようです。
（Re[f(x)]は(f(x)+f(x)の複素共役)/2　の関係を使って、説明しても良いかも知れません。）

お礼

回答ありがとうございます。

＞exp(iwt)とexp(-iwt)の二つの項にまとめることができて
ああ！！！分かりました！
exp(iwt)とexp(-iwt)はそれぞれ別物だから、それぞれの係数を比較するんですね・・・
基本的な所を見落としていました。
ありがとうございます。

回答No.1

foobar

cos(wt)=Re(exp(iwt))または、sin(wt)=Im(exp(iwt))の関係を使っての説明ですわりが悪いなら、以下の説明ではいかがでしょうか。

cos(wt)=(exp(iwt)+exp(-iwt))/2やsin(wt)=(exp(iwt)-exp(-iwt)/(2i)で、sinやcosをexpであらわせる。
exp(iwt)の項とexp(-iwt)は1対1に対応している（元が実関数なので、exp(iwt)に関する項とexp(-iwt)に関する項は複素共役の関係になってる）ので、一方だけ計算すれば他方は自動的にもとまる。
だから、exp(iwt)のみについて計算すればよく、exp(iwt)からsin,cosに変換するには、その居部または実部を取り出せばよい。

お礼

回答ありがとうございます。

例えば、
Z→インピーダンス　I→交流　Im→交流の振幅　Em→電圧の振幅　として、

L(d/dt)I＋RI＋(1/C)∫Idt＝Em・cos(wt)

について考える。右辺の電圧は下のように変形できる。

Em・cos(wt)＝Em (exp(iwt)+exp(-iwt))/2
　　　　　　　 ＝(Em/2) [exp(-2iwt)＋１] exp(iwt)　

I＝Im・exp(iwt)　を代入すると、

Im (iwL＋Ri＋1/iwC) exp(iwt)＝(Em/2)exp(iwt) [exp(-2iwt)＋１]　
Im (iwL＋Ri＋1/iwC) 　　　 ＝(Em/2) [exp(-2iwt)＋１]　

となり、右辺に (1/2)[exp(-2iwt)＋１] という余分なものが残ってしまいます。
そこ以外は、フェーザ法通りの展開になっているので、どうしてもこの部分を「無視」していると考えなければいけないように思うのですが・・・
もしこれを無視しない場合、

(1/2)[exp(-2iwt)＋１] ＝１
wt＝πn (n＝0,1,2,3・・・)

となってしまいます。でも、前提としてそんな事は書いていないので、正確に計算するとその分だけ誤差が出てきてしまうと思うんです。

ごちゃごちゃしてしまい、申し訳ないです。