体の『同型』と『○上同型』のちがい

質問

お世話になっております。体の同型についての質問です。

体L_1、L_2が共に体Kの拡大体であるとします。
このとき、
(i)L_1とL_2は同型である
(ii)L_1とL_2はK上同型である
の違いがわかりません。"K上"が付くことで何が変わるのか説明していただけませんでしょうか。
ちなみに体L_1とL_2が同型であることの定義は、
∃f:L_1→L_2 s.t. fは環準同型かつ全単射
で与えられています。

体の同型に関しての知識が疎く、初歩的な質問で申し訳ありません。
よろしくお願いします。

回答No.1

ojisan7 · ベストアンサー

>>(i)L_1とL_2は同型である
体L_1から体L_2への同型写像σが存在するということですから、これについては問題ないでしょう。

>>(ii)L_1とL_2はK上同型である
L_1とL_2はKの拡大体ですよね。このとき、Kの要素を不変にする、体L_1から体L_2への同型写像σが存在するということです。
もっと詳しく言えば、L_1からL_2への同型写像σが、Kの任意の要素を不変にするとき、つまり、K⊂(L_1)の任意の要素aについて、
σ(a)=a
となるような同型写像σが存在するということです。

お礼

つまり『(ii)L_1とL_2はK上同型である』ということは、
(ii)'∃σ:L_1→L_2　s.t.　『σは環準同型かつ全単射(同型写像である)』　かつ　『∀a∈Kに対してσ(a)=a』
ということですね。すっきりしました、ありがとうございます。