箱型ポテンシャルでのシュレディンガー方程式の規格化

質問

x<0,L<xでV(x)=∞として、その間はV=0となる箱型ポテンシャルを考える問題です。

固有関数と規格化定数を求めるのが問題なのですが、
変数分離によって答えを出す最後の積分で止まってしまいました。

ψ(x,t)=f(x)g(t)　と変数分離して解いて、

f(x)=Acos(nπx/2L) + Bsin(nπx/2L)

は出せました。

規格化は∫|f(x)|^2 dx = 1　なので、計算して、

∫|f(x)|^2 dx = (A^2+B^2)L = 1

ここからどうすればいいのでしょうか？
他の本などを見てもnが偶数と奇数の時で場合分けしていますが、よく分かりません。

回答No.1

Umada · ベストアンサー

解答を拝見しますと、境界条件の検討が中途半端な印象を受けます。そのために行き詰まったのだと思います。

まずSchroedinger方程式ですが、固有関数の存在を前提に解くのであれば、時間を含まないSchroedinger方程式、すなわち
{(-h~^2/2m)(d^2/dx^2)+V(x)} f(x) = εf(x)　　　(1)
という形から解き始めてよいでしょう。わざわざ時間発展項g(t)を含める理由がありません。
ここにh~はいわゆる「hバー」、mは粒子の質量、εはエネルギー固有値です。

箱型ポテンシャルの内部で(1)を解くと
f(x) = A cos kx + B sin kx　　　(2)
を得ます。ここにA, B, kは定数です。kは√(2mε)/h~です。

さて箱型ポテンシャルの外(x<0およびL<x)でポテンシャル関数V(x)が∞なのですから、波動関数f(x)の値はx<0およびL<xで0です。
f(x)はx=0, Lで連続でなくてはなりませんから、(2)式にx=0, Lを代入して
f(0) = 0　　　(3)
f(L) = 0　　　(4)
が必要だと分かります。(3)からは直ちにA=0が得られます。
A=0とした上で改めてx=Lを代入すると、(4)から
√(2mε) L/h~ = nπ　　　(5)
が出てきます。ここにnは整数です。
εについて解くと
ε = (nπ/L)^2 (h~)^2/2m　　　(6)
となって、エネルギー準位がnに応じたとびとびのものになることが分かります。

さて質問者さんの解
f(x) = A cos(nπx/2L) + B sin(nπx/2L)　　　(7)
は(2)と似ているのですが、ちょっと違う点があります。
まずxの係数nπ/2Lですがこれはどうやって出されたのでしょうか。Schroedinger方程式は√(2mε)/h~という情報しか与えません。
nπ/2Lといった数字は何らかの境界条件を検討して初めて出てくるものですから、境界条件の検討はされたのだと思いますが、境界条件は(3)(4)の通りでありその時点で自動的にA=0が得られているはずです。
もう一つ、(7)でsinやcosの中はnπx/2Lでなくnπx/Lでしょう。(2)でk = √(2mε)/h~で、(5)で√(2mε) L/h~ = nπであるわけですから。なんなら(7)式でA=0, n=1としてx=Lを代入してみて下さい。f(x)=Bとなってしまいます。

従って境界条件を正しく検討していれば
f(x) = B sin(nπx/L)　　　(8)
が得られているはずです。
これであればあとは質問者さんがお考えのように、規格化条件
∫|f(x)|^2 dx = 1　　　(9)
を課せば係数Bを求めることができます。この先はセルフサービスでいいですよね。

(気を付けて解いたつもりですが計算ミスなどあるかも知れませんので、ご自身でも検算しながら読んで頂ければ幸いです)

お礼

回答ありがとうございます。f(x)=A exp(ikL) + B exp(ikL)として

f(0)= A+B=0
でといていた時に
f(L)= A(exp(ikL)-exp(-ikL))
ここで±を間違えていたようです。
その後sin kL = 0となるはずが、cos kL = 0
と、なっていた為k=nπ/2Lとなっていたようです。
ありがとうございました。