熱方程式

質問

f(x)∈C^1[0,L］,　f(0)=f(L)=0とし

An=2/L∫f(x)sin(nπx/L)dxとおく
Σ|An|＜∞を示せ
(0から∞)

∵
部分積分して
2/L{L/nπ∫f´(x)cosnπx/Ldx}
=2/nπ∫(f´(x)cosnπx/L)dx

そこからシュワルツ＆Bessel&パーセヴァルの等式？を上手く使え
との助言を教授にいただいたのですが上手いこと解けません
教えてください

回答No.1

apollonius

以下のごとく、f(x)を区間[-L,L]で定義された奇関数に拡張します。
　f(x)=　-f(-x)　(x in [-L,0])
　　　　 f(x)　(x in [0,L])
すると、f(x)をFourier級数展開したときの係数は、
　An=(2/L)∫[0～L]f(x)sin(nπx/L)dx
となり、
　f(x)=Σ[0～∞]An*sin(nπx/L)　(ただし、A0=0)
となります。ここで、Parsevalの等式により、
　(1/2L)∫[-L,L]{f(x)}^2 dx=(1/2)Σ[0～∞]An^2 < ∞
より、
　Σ[0～∞]An^2 < ∞　…　(1)
がいえます。明らかに、
　Σ[0～∞]|An| < Σ[0～∞]An^2　…　(2)
ですから、(1),(2)式から、
　Σ[0～∞]|An| < ∞
がいえます。

こんな感じでどうでしょうか。