箱型ポテンシャル

質問

波動関数はψ(x)={(2/L)^1/2}sin(nπx/L)である。
一次元の箱型ポテンシャル中の自由粒子の運動量ｐおよびｐ^2、位置ｘおよびｘ^2に対するそれぞれの期待値を求めよ

という問題を解いていたのですが、この問題の場合、ｎ＝１，２、・・・などとおくことが出来るのでしょうか？
そうしないと答がものすごく長くなってしまうのですが・・・それとも長くなるのは計算ミスでしょうか？

回答No.3

KENZOU · ベストアンサー

＃２のKENZOUです。
＞<x>=(1/2)nπになったのですが計算ミスでしょうか・・・

計算ミスですね。特に難しい積分計算ではないので注意深くやれば答えがでます。と、ここで終わってもいいのですが、いきがかかり上、以下に略解を書いておきますので、詳しくはご自分でフォローしてみてください。
X=nπx/Lとおくと
∫[0,L]sin(nπx/L)xsin(nπx/L)dx=(L/nπ)∫[0,nπ]Xsin^2XdX
だから∫Xsin^2XdXの積分が計算できればよい。これは部分積分を使うと簡単に計算できる。
∫Xsin^2XdX=(1/2)∫X(1-cos2X)dX=(1/2)[x^2/2-∫Xcos2XdX] (1)
∫Xcos2X=(x/2)sin2X-(1/2)∫sin2XdX
=(x/2)sin2X+(1/4)cos2X (2)
(2)を(1)に代入すると
∫Xsin^2XdX=[(1/4)X^2-(X/4)sin2X-(1/8)cos2X]　(3)
ここでXを元のxに戻し、積分範囲を入れて(3)を計算すれば答えがでます。

ところで期待値<x>というのは電子の平均位置座標を意味しますね。今の場合、その座標は箱の真ん中になるということです。もし<x>=(1/2)nπということになれば、基底状態(n=1)で電子の位置は(1/2)πということになり、箱の長さLには全く関係しない位置ということになりますね。これは物理的に考えておかしいぞ、と考えなければなりません。ということで、単に計算だけを追うのでなく常に物理的描像を頭に描いて勉強を進めるのがポイントです（←余計な老婆心か）。

お礼

今やり直したらうまくいきました。詳しく説明してくださってありがとうございました。

補足

X=nπx/Lという置き換えをして、
∫Xsin^2XdX=[(1/4)X^2-(X/4)sin2X-(1/8)cos2X]　(3)
まではやっていました。
そこで、積分区間Ｘ：０→ｎπ（x:０→Ｌより）として計算すると<x>=(1/2)nπになり、おかしいと思って悩んでいたところです。

回答No.2

KENZOU

＃１のKENZOUです。
>積分区間が０～Ｌなのですが、それでも運動量の期待値は普通に計算すると０になるのでしょうか？
（ｎを正整数とすると０になりましたが）

その通りです。ちなみに運動量pの期待値を計算すると
<p>=(2/L)∫[0,L]sin(nπx/L)cos(nπx/L)dx=(2/L)sin[nπ]^2/2nπ=0
となりますね。∵sin[nπ]=0，（n=1,2,3,・・・）
ついでに<x>も計算してみると
<x>=(2/L)∫[0,L]sin(nπx/L)xsin(nπx/L)dx=L/2
となります。

補足

<x>=(1/2)nπになったのですが計算ミスでしょうか・・・

回答No.1

KENZOU

＞この問題の場合、ｎ＝１，２、・・・などとおくことが出来るのでしょうか？

別にそのようにしても一向に構わない。ただ，例えばn=1とするとその量子状態に於ける期待値となるわけですね。しかし，nの値を決めて個別に求めるようなことをしなくても無論いける訳です。具体的にやってみましょう。運動量pの期待値を<p>とすると
<p>=∫[-a,a]Ψ*(x)pΨ(x)dx=∫[-a,a]Ψ*(x)(hbar/i)(∂/∂x)Ψ(x)dx，p=(hbar/i)∂/∂x　(1)
と書かれますね。但し積分の左側のΨ*(x)は複素共役を意味しています。そこでΨ(x)={(2/L)^1/2}sin(nπx/L)を入れて<p>を計算すると
<p>=(2/L)(hbar/i)∫[-a,a]sin(nπx/L)(∂/∂x)sin(nπx/L)dx=(2/L)(nπ/L)(hbar/i)∫[-a,a]sin(nπx/L)cos(nπx/L)dx=0
となります。つまり運動量の期待値は０。<x>も(1)の積分式の中のpの代わりにxを入れて同様に計算すると<x>=0となることがわかります。
これではあまり面白くないので<x^2>を求めると
<x^2>=∫[-a,a]Ψ*(x)x^2Ψ(x)dx=(2/L)(∫x^2sin(nπx/L)^2dx=(2/L)(1/12n^3π^3){4a^3n^π^3-6aL^2nπcos(2anπ/L)+3L(L^2-2a^2n^2π^2)sin(2anπ/L)}
という長ったらしい式になりました。この積分は手抜きしてMathematicaにやらせました。

補足

積分区間が０～Ｌなのですが、それでも運動量の期待値は普通に計算すると０になるのでしょうか？
（ｎを正整数とすると０になりましたが）