同心円周にうつすメビウス変換で

質問

円周|z|=1と円周|z-1|=4を同心円周にうつすメビウス変換を求める問題ですが、
この２つの円周は(1)「原点中心、半径１」の円と、(2)「中心１、半径２」であるので、求めるのことは
(2)が(1)の中心にうつる、つまり、|z|=4にうつるメビウス変換を求めればよいのでしょうか？？
その場合で計算したのですが、求めるメビウス変換は
T(z)=4/z　と　T(z)=z/4
で正しいですか？実際、(いずれも)|z|=1 → |z|=4 となってます。

また、(1)が(2)の中心にうつる、つまり、|z-1|=1にうつる場合も考えられるので、
計算すると
T(z)=z+3/z-1　
となりました。

以前回答いただいたんですが、削除で申し訳ありませんでした。自分で解いた上で再質問しました。
よろしくお願いします。

回答No.2

ojisan7 · ベストアンサー

前回計算した紙は捨ててしまいましたが、a,b,c,dは実数として計算してみて下さい。T(z)=z+3/z-1は前回の回答とは違いますね。したがって、間違いです。w=(az+b)/(cz+d)の式を変形してｚ＝f(w)の式を作り、|z-1|=4に代入するとwについての円の式が導かれますので、その円の中心を求めておきます。|z-1|=4についても同様に計算します。求めた２つの円の中心を等しいとします。これで、前回と同じ結果が導かれるでしょう。

お礼

解決いたしました。丁寧な回答ありがとうございました。

回答No.1

eatern27

＞(2)が(1)の中心にうつる、つまり、|z|=4にうつるメビウス変換を求めればよいのでしょうか？？

よくないです。

あるメビウス変換によって(2)の中心が、(変換前の)(1)の中心に移ったとしても、
一般には、そのメビウス変換によって、(1)の中心は、別の点に移っていますので、(1)と(2)は同心円にはなりません。

つまり、「|z|=1とT(|z-1|=4)とが同心円になるようなメビウス変換Ｔ」を求めようとしているわけですが、
与えられている問題は、「T(|z|=1)とT(|z-1|=4)とが同心円となるようなメビウス変換Ｔを求めよ」というものですので、ちょっと違いますよね。

＞また、(1)が(2)の中心にうつる、つまり、|z-1|=1にうつる場合も考えられるので、
の方も同様です。

T(z)=(az+b)/(cz+d)
とおくと、(ad-bc=1とおいても一般性を失いません)

w=T(z)=(az+b)/(cz+d)より、z=(dw-b)/(-cw+a)となるので、
例えば、|z|=1の行き先は
|(dw-b)/(-cw+a)|=1
ですが、これを整理すれば、円の中心(と半径)が分かります。

同様に、|z-1|=4の行き先も求めて、両者の中心が一致するようにa,b,c,dを求めればＯＫです。

お礼

問題の解決ができました。ありがとうございました。