sin(t)/tのフーリエ変換

質問

sin(t)/tのフーリエ変換の計算がわかりません。

はじめは、sinを指数に変形して複素積分しようとして、上半平面で原点中心の半径Rの半円と実軸と半径ｒの半円を積分路にして、R→∞、r→０で計算したら０になってしまいました。

複素積分に不安があるので調べてみたら、岩波の公式集に、|ω|>1のときにπ/2の平方根で、それ以外は０と記述されていました。

何か計算の方針となるような考え方をアドバイスしてください。
よろしくお願いします。

回答No.3

eatern27 · ベストアンサー

>上半平面で外側の円周上での積分が発散してしまうのは、
被積分関数は発散しますが、積分自体は収束するはずです。(てか、しないとおかしい)

>z = R exp(jθ)
>とし、積分値の絶対値を考えたときに残ってしまうexpの指数部　(ω±1)Rsinθ　が積分区間の0～πではsinθ>0だからωの値によってはexp(∞)となって発散してしまうということでしょうか？

まぁ、間違ってはいませんが、むしろ、この経路では「積分(のR→∞での極限)が計算できない」のが困るんですよね。

z=Rexp(jθ)とすると、円周上の積分は、
∫dθ jexp(R(ω±1)sinθ-jR(ω±1)cosθ)
となると思います。(以下は、ω+1の方だけ考えます)

考えている区間で、(ω+1)sinθ>0だとしましょう。
そうすると、R→∞で被積分関数は発散しますよね。同時に、位相因子が激しく振動しているので、直ちに積分自体が発散する事にはなりませんが(上にも書きましたが、収束するはず)、どっちにしても、上の積分を具体的に計算するのは、凄く大変でしょう。(てか、実軸上の積分が直接計算できないのに、円周上の積分は計算できるってミラクルはきっと起こらないｗ)

一方、(ω+1)sinθ<0であれば、
|∫dθ jexp(R(ω+1)sinθ-jR(ω+1)cosθ)|
≦∫dθ |jexp(R(ω+1)sinθ-jR(ω+1)cosθ)
＝∫dθ exp(R(ω±1)sinθ)→0 (R→∞)
となるので、円周上の積分が、R→∞の極限でゼロになる事が分かります。

そこで、ω+1<0の時には、上半平面を通る半円を考えてやれば(積分区間内でsinθ>0なので)、円周上の積分がゼロになりますよね。
同様に、ω+1>0の時には、下半平面を通る半円を考えてやれば、円周上の積分がゼロになります。

>下半平面での場合分けがなぜそうなるのかまだ理解できていませんが、
あぁ、書き方が悪かったかなぁ。。。
上に書いた事から分かると思いますが、ω±1が正か負かで積分経路を変えて考える事になります。なので、ω<-1,-1<ω<1,1<ωで分けて考えることになるという事です。

お礼

eatern27 様

再びの回答ありがとうございました。

>>上半平面で外側の円周上での積分が発散してしまうのは、
>被積分関数は発散しますが、積分自体は収束するはずです。(てか、しないとおかしい)
そうですね。用語の使い方にもっと気を配るようにします。

>ω±1が正か負かで積分経路を変えて考える事になります。
場合分けの意味が理解できました。うれしいですｗ

いろいろと勉強になりました。
詳しいことまで説明していただいて本当にありがとうございました。

回答No.2

991108

http://runner2.ge.knct.ac.jp/math/4/pdf/complex_4.pdf
http://www-an.acs.i.kyoto-u.ac.jp/~kigami/complex2.pdf

にありました。e^{iz}/zを特異点を含まないように
積分ですね。

お礼

991108　様

回答ありがとうございます。
留数を用いた実積分の復習に利用させていただきます。

回答No.1

eatern27

具体的にどのような計算をしたのかを書いてくれた方が、適切なアドバイスができると思いますが、

>上半平面で原点中心の半径Rの半円と実軸と半径ｒの半円を積分路にして、

厳密なことは書きませんが、

半円の周上の積分の寄与が、Ｒ→∞の極限でゼロにならないのであれば、周上の積分の寄与も考える必要が出てきます。(けど、そんな事を考えるのは大変なので、そういうのを考えなくてすむように積分経路を選びます)

今の問題の場合、ωの値によっては、tの虚部→∞の極限で被積分関数が発散してしまうので、上半平面を通る半円の周上の積分はゼロではありません。なので、上半平面を通る半円を考えても上手く行きません。下半平面を通る半円を考えましょう。(ω<-1,-1<ω<1,1<ωで場合分けする事になるはず)

補足

eatern27さま

回答ありがとうございます。

>具体的にどのような計算をしたのかを書いてくれた方が、適切なアドバイスができると思いますが、
すいませんでした。
jを虚数単位としてます。
まず、変換の計算式
∫-∞→∞{(sin t / t)exp(-jωt)}dt
のsin t を
{ exp(jt)-exp(-jt) } / 2j
にして分解し、
∫-∞→∞{exp( -j(ω-1)t ) / t}dt - ∫-∞→∞{exp( -j(ω+1)t ) / t}dt
の計算をしようとしました。
そこで、上半平面での積分路をcとして
∫c {exp( -j(ω+1)z ) / z}dz 、∫c {exp( -j(ω-1)z ) / z}dz
という積分を考えました。

>今の問題の場合、ωの値によっては、tの虚部→∞の極限で被積分関数が発散してしまう
上半平面で外側の円周上での積分が発散してしまうのは、
z = R exp(jθ)
とし、積分値の絶対値を考えたときに残ってしまうexpの指数部　(ω±1)Rsinθ　が積分区間の0～πではsinθ>0だからωの値によってはexp(∞)となって発散してしまうということでしょうか？

＞ω<-1,-1<ω<1,1<ωで場合分けする事になるはず
下半平面での場合分けがなぜそうなるのかまだ理解できていませんが、
もう少し考えてみます。