ローレンツ変換(基本的なことだと思います)

質問

授業で、相対論について学んでいる大学生です。

教科書の内容で不明な点があったので質問させてもらいます。
(教科書は、風間洋一の相対性理論入門講義です)

「4次元時空において、ローレンツ変換とはいかなる幾何学的意味を持つのであろうか。
それを探るためにはS系でt=0に原点から発射された球面波を考えてみると良い。
波はt秒後には半径ctの球面上に達するから、
　(ct)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}
∴x^{2}+y^{2}+z^{2}-(ct)^{2}=0
が成り立つ。この現象をS'系で記述すると、t=0で両系の原点を一致させるものとすれば、S'系においても光速度は同じくcであることから
やはり同じ形の式
　x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}-(ct')^{2}=0
が成り立つはずである。

これは、実際にローレンツ変換を用いて確かめてみると…」
と話が続きます。

S系は1つの慣性系
S'系はS系に対してx軸の正方向に一定の速度Vで動いている慣性系です。
また、(x',y',z',t')はS'系の変数で^{}は累乗を表しています。

ここでは、S'系の球面波が
x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}-(ct')^{2}=0
であらわせることを自明として、そこからローレンツ変換が
実際に正しいかどうか確認しています。
しかし、自分にはx'^{2}+y'^{2}+z'^{2}-(ct')^{2}=0
の式がイメージできません。(実際にS系の式をローレンツ変換することで導くことはできますが)

どのように考えるとS'系の球面波の関係式がすぐに導ける、または推測できるのですか？

回答No.5

boson · ベストアンサー

イメージがわからないのでしたら
下記のビデオをお勧めします。

メカニカルユニバース28
特殊相対性理論
http://pub.maruzen.co.jp/videosoft/shop/1150332.html

ローレンツ変換を時間軸と空間軸の一次変換のアニメーションで解説していています。
ご所望の、点光源から球面波が発出されたとき、S系、S'系で球面波がどのように広がっていくのかも、
アニメーションになっていますので理解の助けになると思います。

アメリカの国立科学財団(NSF)が高校生向けに作った教材ですが
一次変換を習っていない生徒向けに
アニメーションで軸を斜交させますので、
数式を使わずに時間軸と空間軸がどのような変換を
受けるのかまでもが理解可能です。

大学図書館には結構所蔵されていますので
大学図書館のビデオ資料室で見るのが良いと思います。

大学図書館ではなく、公立図書館ですと、
例えば東京でしたら

府中市立図書館（中央図書館）
http://library.city.fuchu.tokyo.jp/

に所蔵されています。

回答No.6

gyrch

高校の参考書で、光波のドップラー効果を調べるとき、図解で、
「観測者が静止で、光源が運動する場合」
と
「光源が静止で、観測者が運動する場合」
に分けられてますが、特殊相対論では、どちらの場合も、
「観測者が静止で、光源が運動している様に見える」
ということではないのでしょうか？
つまり、光波の伝播における媒質など存在しないものとして、
想像すればシックリ来るかと。

お礼

ここで、まとめてお礼を言いたいと思います。
ありがとうございました。

ビデオ教材などを参考にしてみたいと思います。

回答No.4

shiara

Ｓ系であろうとＳ’系であろうと、光はｃで進むのです。自分がＳにいようがＳ’にいようが、式の形は同じです。

補足

皆さん解答ありがとうございます。

S系とS'系での光速度が等しいのは理解できるのですが、
S系の原点から発せられた球面波が
運動しているS'系でも原点で発せられているとみなせるのかが
理解できません。

S系とS'系の等価性が相対性原理から要求されているので、式の形が同じと考えてよいのですか？

回答No.3

noname#77472

ｔを球座標のｒと思えばいいんでないかい？
http://wwwsoc.nii.ac.jp/geod-soc/web-text/part4/4-3/4-3-4.html

ぜってー行列でやれって言ってねーよ。　　つ＾＾）つ

回答No.2

ojisan7

>自分にはx'^{2}+y'^{2}+z'^{2}-(ct')^{2}=0の式が
イメージできません

これは、「光速度不変の原理」です。一般的には、この原理と「相対性原理」から、「ローレンツ変換」を導くのです。しかし、ここで問題としていることは、「光速度不変の原理」が、「ローレンツ変換」を満たしているかどうか（矛盾しないかどうか）を確認ししなさい。ということではないでしょうか。

回答No.1

Tacosan

中身はよくわかりませんが, 「全ての慣性系は等価である」ということを仮定すれば自明だと言ってるんじゃないでしょうか.
つまり, 慣性系 S で x^2 + y^2 + z^2 - (ct)^2 = 0 なら, S' でも同じ形の式 (x')^2 + (y')^2 + (z')^2 - (ct')^2 = 0 が成り立たないと (等価じゃなくなるので) まずい, と.