∫[0→∞] {sin(x)^2} dx

質問

積分∫[0→∞] {sin(x)^2} dx
が全く分かりません。
ヒントだけでもいいので、よろしくお願いします。

回答No.4

info22 · ベストアンサー

不定積分が解析的には出来ません。
つまり初等関数では表せませんので高校レベルなら積分できないということですね。

収束はしますので数値的には多分積分できる可能性があります。

大学の数学レベルなら、質問の積分は特殊関数のフレスネル正弦積分S(x)を使って不定積分が求められます。
∫{sin(x^2)} dx=√(π/2)S(x√2/π)+C
http://keisan.casio.jp/has10/SpecExec.cgi?path=08000000.%93%C1%8E%EA%8A%D6%90%94%2F07000600.%83t%83%8C%83l%83%8B%90%CF%95%AA%2F10000100.%83t%83%8C%83l%83%8B%90%B3%8C%B7%90%CF%95%AA%20S(x)%2Fdefault.xml
これを使えば
∫[0→∞]{sin(x^2)} dx={√(2π)}/4
となります。

お礼

不定積分も求められるのですね。
なるほど。
ありがとうございます。

回答No.6

info22

#4です。
積分は収束します。
色々な著名サイトや数式処理ソフトのサイトにも収束値（定積分の結果）が掲載され、複数の数式処理ソフトで積分してみても収束値が
√(π/8)=(√(2π)/4
が計算できます。

#5さんが
「絶対収束しないので、収束性に気を付けて下さい。」
は明らかに間違いで、#5さんの参考URLにもちゃんと上記の収束値が
書かれています。
何か勘違いされているみたいですね。

回答No.5

nakaizu

フレスネル積分と呼ばれているものです。
不定積分はできませんが、この定積分は求めることが可能です。
しかし、かなり難しいですよ。
日本語の解説のページが見つからなかったので、英語のwikiを見て下さい。
これを見てわかる人にはわかるし、わからない人には多分無理です。

絶対収束しないので、収束性に気を付けて下さい。

参考URL：

http://en.wikipedia.org/wiki/Fresnel_integral

お礼

参考URLありがとうございます。
今から眺めてみます。

回答No.3

Tacosan

おぉっと.
#2 は勘違いしてます. すみません.

回答No.2

Tacosan

それでも収束しないことはグラフを描けばわかる.

回答No.1

proto

ではヒントだけ、
　　sin(x)^2 = (1-cos(2x))/2 = 1/2 -cos(2x)/2
と変形してから積分してください。

まぁ実際に積分しなくとも、常にsin(x)^2>0だから題意の積分は発散するだろうなという予想はできますが。

補足

返答ありがとうございます。
typoでした。
>∫[0→∞] {sin(x)^2} dx
は
∫[0→∞] {sin(x^2)} dx
の間違いです。