反射壁のあるブラウン運動

質問

反射壁のある非対称ブラウン運動について書かれた本・HPを
紹介してください。できれば、離散の場合がよいです。

問題設定としては、
数直線上を右にα(<0.5)、左に1-αの確率で移動する粒子があって、
反射壁が原点にあり、それより左には行けないようになっています。
そのとき、t→∞での粒子の位置の極限分布が知りたいです。

もちろん、この問題に直接解答していただいても結構です。
よろしくお願いします。

回答No.1

age_momo · ベストアンサー

何分布かと聞かれればn≧1で幾何分布だと思います。
原点からの距離nにある確率をPnと表すとして
（P0のみP0=(1-α)P1,P1の後は幾何分布）

t→∞で平衡に達しているのなら

P0=(1-α)P1
αP1=(1-α)P2
αP2=(1-α)P3
αP3=(1-α)P4
・・・
・・・
・・・
と
P0+P1+P2+・・・=1
が成立しているはずですので
P2=(1-α)P1
P3=(1-α)^2P1
P4=(1-α)^3P1
・・・
・・・
・・・
でP1についてまとめると
P1*[(1-α)+Σ[k=0,∞]{α/(1-α)}^k]=1
P1=1/{1-α+(1-α)/(1-2α)}=(1-2α)/{2(1-α)^2}

P0=(1-2α)/{2(1-α)}
Pn=(1-2α)α^(n-1)/{2(1-α)^(n+1)} (ただしn≧1)

お礼

ありがとうございました。