数学Cの問題

質問

次の問題の解答をお願いします。
問題：座標平面において、原点Oと異なる点Pをy軸に関して対称移動し、さらに原点の周りに60度回転させた点Qは、直線OP上にあった。直線OPをすべて求めよ。

回答No.8

shuu_01 · ベストアンサー

既に回答したように、点 P の角度を θ とおくのが僕的には楽ですが、

点Ｐ を （a, b) と置いて、計算するのが普通なのかも

そうおくと、直線 OP は y ＝ (b / a) x　で表せます

a ＝ 0 となる点は、y 軸上にあるので、y軸に対称移動しても、
位置が変わらず、60度回転させると、別の位置に移動しちゃうので、
今回の条件に会わず、a で割っても大丈夫です

まず、y軸に対称移動した点は （－a, b）です

それを β 回転させるた点Ｑ を （X, Y）とすると、

X ＝ （－a）cosβ － b sin β
Y ＝ （－a）sin β ＋ b cos β

となります。それが 直線　y ＝ (b / a) x に乗ってるってことは

（－a）sin β ＋ b cos β ＝ (b / a) { （－a）cosβ － b sin β }

これを a sinβ で割ると（β は 60度 か － 60度だから割って大丈夫）

　－1 ＋ (b / a）（1 / tanθ） ＝ －（b / a）（1 / tanθ） － （ b / a）^2

　（ b / a）^2 ＋ 2 （1 / tanθ）ー 1 ＝ 0

　{（ b / a）＋ （1 / tanθ）}^2　＝ １ ＋ （1 / tanθ）^2

　（ b / a）＋ （1 / tanθ）＝ ± √ {１ ＋ （1 / tanθ）^2}

　　b / a　＝　－ 1 / tanθ± √ {１ ＋ （1 / tanθ）^2}

　θ ＝ 60度 の時 （反時計回りの時）、tanθ ＝ √3 を代入して解くと

　 b / a ＝ －√3、1 / √3

　y = －√3 x　と　y ＝ （1 / √3）x

　θ ＝ －60度の時（時計回りの時）、tanθ ＝ －√3 を代入して解くと

　 b / a ＝ － 1 / √3、 √3

　y = －（ 1 / √3） x　と　y ＝ √3 x

回答No.12

shuu_01

＞　以上、重箱の隅ツツキでした。

重箱のつっつきでないのは、

最初に点 P（a, b） と置いて始めるか、

点　P　の　ｘ軸からの角度 θから始めるか

が重要な違いと思います

点　P （a, b） と置くと、変数が２つ、

角度 θ と置くと、変数が１つ

求めるのは 直線　OP の式なので、角度だけわかればよいので、

角度 θ と置いた方がずっと楽ですよね

両方の方法で解いて、実感しました

回答No.11

info22_

No.4です。

ANo.4を以下のように訂正と補足をさせて下さい。

>この60°回転は、
(1)左回り（反時計回り）の回転の場合
(2)右回り（反時計回り）の回転の場合
(3)左回り（反時計回り）と右回り（時計回り）の両方の回転の場合

(1)であれば　直線OP:y=-√(3)x, y=x/√(3)
(2)であれば　直線OP:y=√(3)x , y=-x/√(3)
(3)であれば　直線OP:y=√(3)x, y=-√(3)x, y=x/√(3), y=-x/√(3)

となります。

[導出法参考]
P(x,y)　但し、Pは原点を含まない。
y軸対称移動
x'=x
y'=-y
更にθ回転移動（θ>0で左回り,θ<0で右回り）
x"=x'cosθ-y'sinθ=xcosθ+ysinθ ...(A)
y"=x'sinθ+y'cosθ=xsinθ-ycosθ ...(B)
Q(x",y")が直線OP:y=mx (m≠0) ...(C) 上にあることから
y"=mx"...(D)
(A),(B),(C),(D)より
m=(xsinθ-ycosθ)/(xcosθ+ysinθ)=y/x ...(E)

θ=60°(60°左回り,反時計回り)の場合
　m=(√(3)x-y/2)/(x/2+√(3)y)=y/x ...(F)
これを解くと
　y=-√(3)x (m=-√(3)), y=x/√(3) (m=1/√(3)) ...(G)

θ=-60°(60°右回り,時計回り)の場合
　m=(-√(3)x-y/2)/(x/2-√(3)y)=y/x ...(H)
これを解くと
　y=√(3)x (m=√(3)), y=-x/√(3) (m=-1/√(3)) ...(I)

(G)と(I)を合わせた４本の直線が直線OPの全てです。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。参考にさせていただき無事解決しました。

回答No.10

NemurinekoNya

いや～、回答、盛り上がっていますね～。
なので、私もちょっと参加します。

この場合、
求める直線の方程式が必ずしもy = mxの形になるとは限らないんですよ。
直線x = 0───y軸です───も、一応、候補なので。

ですから、
x=0（y軸）が、求める直線でないことを示さないで、
　「P(a,b)だから、OPを通る直線の傾きは、b/a」
とやってしまうと、減点されてしまう（ニコニコ）。
待ってましたとばかりに、減点されてしまう。
a=0かもしれないので。
「a=0でないことを証明したのか」となってしまいます。

y=mxも同様。
直線x=0はこの形ではあらわすことができないので・・・。

ですから、
いずれの方法をとるにしても、
ほとんど明らかなのですけれども、
直線x=0が求める直線でないことを真っ先に示さないといけない。

行列の固有値と固有ベクトルを使えば、こうした問題は発生しませんけれども、この程度の問題に行列の固有値などを使うのは、大袈裟ですわね～。

不動直線の問題は、
　y=mx+n
と
　x = 定数
の場合を考えないといけない、
というお話でした。

こうした議論が面倒ならば、
直線の方程式を
　px + qy = 0　　（同時にp = 0, q = 0とならない）
として、解かないといけない。
───ここでも「ゼロ割り」には、くれぐれも注意！！───

以上、重箱の隅ツツキでした。

回答No.9

B-juggler

>これは逆にやっているだけだから、点ｐを（ｘ、ｙ）　
>と置いて、対称移動させて、６０度回転させて、点Ｑ　を求めて、
>それがｙ＝ａｘ　にのっていますよ～　
>↑このとおりすると、Qは（ーxー√3y , √3x+y）になりました。
>これがｙ＝ａｘ上にある、⇒この先がわからないです。
>代入しても、みなさんの回答のy ＝ √3 x、y ＝ －（ 1 / √3）xを導きだすことが
>できなくてわからないです。どうかよろしくお願いします。

はい、補足感謝。

計算あってるよ～。

点Ｑはそれであっていますので、　ｙ＝ａｘ　を代入。

　＃ここは最初から　（ｘ，ａｘ）を点Ｐとしておいたほうがいいのかもしれないね。

（１／２）は　消してるね　（＾＾）ｂ　ナイス

点Ｑは　こう代わると思う。

（－ｘ－√３　ａｘ　，－√３　ｘ　＋ａｘ）

　ちょっと分かりやすく　点Ｑを　（Ｘ，Ｙ）とすると

Ｘ＝－ｘ－√３　ａｘ
Ｙ＝－√３　ｘ　＋ａｘ

こうなってるはずです。　ついでに、点Ｑも　ｙ＝ａｘ上にあることから

Ｙ＝ａＸ　が成立するはず！　ね？

全部放り込んでみて？　ｘも全ての項にかかるから、消して構わない。
　＃ｘ≠０　も　ｘ＝０　もこの場合関係はないからね。
　＃直線状の全ての点（！）ということだけ抑えて書かなきゃいけないけれど！

と、ａの二次方程式になるよ～。

解けば両方出てくる。少し気持ち悪いけれど。
　＃どっち周りというのは、この場合あまり関係ない。
　＃今やってみると、マイナスのかかり方が少し変わるだけで、
　＃結局同じ解しか出てこないね。

こんな式が出てくると思う。

√３　ａ＾２　＋２ａ　－　√３　＝０　かな？

計算はね、間違ってるかもしれないけれど「道筋だけ」間違わなければね。
数学はそういう学問だからね～。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)　長くなったね、ごめんなさい。

お礼

回答ありがとうございました。とてもわかりやすく参考になりました。すっきりしました！

回答No.7

B-juggler

Ｎｏ．１です～。
そっか、右回り左回りがあるのか・・・。
　気が付きませんでした。（＞＜）

えっと、ちょっとだけお礼の分を。

点Ｑを　（ｘ、ｙ）　と置いて、６０度まわしますね。
　回転させたのをＱ’としておきますよ。

Ｑ’を　Ｙ軸に対称移動させて出来た点を　Ｑ＋　としておきますね。

そうしたら、　Ｑ＋は　（ｘ、ｙ）ではないですね？

これが　ｙ＝ａｘ＋ｂ　に乗っている　（この場合　ｂ＝０ね　原点通るから）、

と思えばいい。

これは逆にやっているだけだから、点ｐを（ｘ、ｙ）　と置いて、

対称移動させて、６０度回転させて、点Ｑ　を求めて、
それがｙ＝ａｘ　にのっていますよ～　でもいいですよ。

最終的には同じ形になるんだけどね＾＾；

ｙ＝ａｘ　に乗っているのだから、（ｘ，ａｘ）になるはずなんだね。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

補足

これは逆にやっているだけだから、点ｐを（ｘ、ｙ）　と置いて、対称移動させて、６０度回転させて、点Ｑ　を求めて、
それがｙ＝ａｘ　にのっていますよ～　
↑このとおりすると、Qは（ーxー√3y , √3x+y）になりました。
これがｙ＝ａｘ上にある、⇒この先がわからないです。代入しても、みなさんの回答のy ＝ √3 x、y ＝ －（ 1 / √3）xを導きだすことができなくてわからないです。どうかよろしくお願いします。

回答No.6

shuu_01

時計回りなら

まず、点 P の X軸からの角度を θとします

すると、点 Q の X軸からの角度は π － θ です

それを －６０度 回転させると π － θ － π/3 ＝ (2/3） π － θ です

それが、OP 上にあるのは、

θ ＝ (2/3） π － θ ＋ nπ

θ ＝ （ 1/3 ＋ n/2 ）π

です

n は整数で無限に答えがありますが、

－π ≦ θ ≦ π に限ると

n ＝ －2　θ ＝ － 2/3 π
n ＝ －1　θ ＝ － 1/6 π
n ＝　　0　θ ＝　　1/3 π
n ＝　　1　θ ＝　　5/6 π

θ ＝ － 2/3 π と θ ＝　　1/3 π
θ ＝ － 1/6 ππ と θ ＝　　5/6 π　
は同じ直線上にあり、各々

y ＝ √3 x
y ＝ －（ 1 / √3）x

です

info22_ さんの解答は時計回り、反時計回りとも１つだけ
上げてますが、その１つと一致しています

でも、解いてわかるように各々２本ありますよね

回答No.5

shuu_01

僕は点 P の位置の角度を求め、

n ＝ －3　の時、θ ＝ － 5/6 π、直線 OP は　y = (1 / √3) x
n ＝ －2　の時、θ ＝ － 1/3 π、直線 OP は　y = －√3 x
n ＝ －1　の時、θ ＝　　1/6 π、直線 OP は　y = (1 / √3) x
n ＝　　0　の時、θ ＝　　2/3 π、直線 OP は　y = －√3 x

P の位置は ４つありますが、

θ ＝ － 5/6 π　と　θ ＝　　1/6 π
θ ＝ － 1/3 π　と　θ ＝　　2/3 π

は同じ直線になるので、直線は

y = (1 / √3) x
y = －√3 x

の２本ですね

ちなみに、普通 60度 回転させるというと、反時計回り、
－60度 回転させると、時計回りなので、
僕は反時計回りで計算しています

解き方を見てわかるように、時計回りでも極めて簡単です

回答No.4

info22_

>さらに原点の周りに60度回転させた点Q

この60°回転は、
(1)左回り（反時計回り）の回転ですか？
(2)右回り（反時計回り）の回転ですか？
それとも、
(3)左回り（反時計回り）と右回り（時計回り）の両方の回転を含みますか？

(1)であれば　直線OP:y=-√(3)x
(2)であれば　直線OP:y=√(3)x
(3)であれば　直線OP:y=√(3)x, y=-√(3)x
となります。

回答No.3

shuu_01

１行抜けてたので追加します

n ＝ －3　θ ＝ － 5/6 π
n ＝ －2　θ ＝ － 1/3 π
n ＝ －1　θ ＝　　1/6 π
n ＝　　0　θ ＝　　2/3 π

回答No.2

shuu_01

僕は大学を卒業して数年たち、仕事で数学をほとんど使っておらず、まっとうな数学の解き方を忘れてしまいました。それで純真無垢な気持ちで考えてみました。正統な解き方と違ってると思うのですが、ごめんなさい

まず、点 P の X軸からの角度を θとします

すると、点 Q の X軸からの角度は π － θ です

それを ６０度 回転させると π － θ ＋ π/3 ＝ (4/3） π － θ です

それが、OP 上にあるのは、

θ ＝ (4/3） π － θ ＋ nπ

θ ＝ （ 2/3 ＋ n/2 ）π

です

n は整数で無限に答えがありますが、

－π ≦ θ ≦ π に限ると

n ＝ －2　θ ＝ － 1/3 π
n ＝ －1　θ ＝　　1/6 π
n ＝　　0　θ ＝　　2/3 π