ブラウン運動について教えてください

質問

文系人間です。よろしくお願いします。m(_ _)m

【質問１】
（完全に無風、無振動、室内の温度差なしなどの条件で）水が満たされた正円形の、十分に巨大な水槽の中心に、花粉を落とし、ブラウン運動による移動を観察するとします。
一定時間経過後の花粉の位置を測り、十分なサンプル数で統計をとるとします。

中心＝スタート地点からの距離で測れば、ゼロを最頻値とする正規分布になるでしょうか？
（水槽の直径が無限大でないと、分布曲線のテールが切れることになりますが、その問題は考えないとして。）

とすると、スタート地点と完璧に同じ位置に戻る花粉が最も多いことになりますが、不規則な運動が互いに打ち消し合ってゼロになる確率は、そんなに高くないのでは……とも直感的に思うのですが。

※例えば、コインを百万回投げて、表と裏がぴったり50万回ずつ出る確率は高くない……（逆正弦定理、リードの法則）という点からも、完璧に中心に戻る確率は低いような気がします。
http://www.geocities.co.jp/WallStreet/2077/money/20041106arc.html

【質問２】
仮に、水槽の底１ヶ所に微小な穴が空いていて、そこからわずかに水が滲み出しているとします。

水面はまっ平らで、肉眼ではその穴が作る水流は観察できません。
中心に落とされた花粉のなかには、最初は穴とは反対のほうへどんどん動いていくものもあるでしょう。
しかし十分な時間が経てば、花粉はその穴の方向へ集まっていくと思います。

この場合、十分な時間が経過したのちは、穴の真上の点と花粉の距離は、ゼロを最頻値とする正規分布になるでしょうか？

【質問３】
上記２のような現象（わずかに流れのある中でのブラウン運動？）に名前があったら教えてください。

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

最頻値というのは、本来は、「有限個の標本の中で度数が最大になる点」という意味で、「確率密度関数が最大値を取る点」のことではないのですが、まあここでは後者の意味だとしておきます。

【質問１】
＞ゼロを最頻値とする正規分布になるでしょうか？
基本的には、そうだと思います。
同時にたくさんの花粉を落とした場合、それぞれの花粉どうしは完全に独立にうごいているわけではないため完全なブラウン運動にはならないので、多少、正規分布からはずれると思いますけれども。

【質問２】
これは、なんとも言えないのでは。最頻値（密度関数の最大値の位置）が穴のところにくることは間違いないと思いますが、具体的な分布は、流れの影響が穴からの距離に応じてどれくらい減少するのかによるはずです。
距離の２乗に反比例して影響が減れば正規分布になるか。流体の連続性から考えてほぼ２乗に反比例するとは思いますが。

【質問３】
広い意味での、「ドリフト付のブラウン運動」ということになるんでしょうけど、上で書いたように、金融工学なんかででてくる、単純なウィーナー過程＋１次のドリフト項になるとは限らないと思います。

お礼

ドリフト項というのですね。検索したら計算式も出てきました。

とてもわかりやすい説明をありがとうございました。勉強になりました。

回答No.2

liar_adan

離散分布でないと「最頻値」というのは使えないと思いますが、
意味することは、そこを最大値にする確率分布曲線ということですね。

質問１に記された状態では、

＞中心＝スタート地点からの距離で測れば、ゼロを最頻値とする正規分布になるでしょうか？

ということにはなりません。ならないに１００万円賭けてもいいです。

なぜかというと、円形の水槽だと、中心（近く）の面積は小さく、
距離が離れるにつれて、距離ごとの面積が大きくなるからです。

時間がたてば水槽全体にほとんど均等に散乱するわけだから、
「中心からの距離」で考えると、フチ近くが一番多く存在するはずです。

想定していることを考えるなら、
長さが非常に長く、幅が無視できるほど細い水槽を準備し、
その中央に花粉を撒くべきです。

さて、「スタート地点に完璧にもどる花粉は少ない」とのことですが、
それはその通りです。
ほぼゼロです。
１００兆個に１個もありません。

しかし、「丁度１ｃｍ右に行く花粉」がどれくらいあるかを考えてみると、
これも少なく、ほぼゼロです。

どっちにしろ、「丁度」その場所に花粉が行くということは、
確率的にはゼロなのです。
中心から０ｃｍ、１ｃｍ、２ｃｍ...のところ、ぜんぶ同じです。

距離が連続量なので、
「丁度そこに来る確率」ではなく、確率分布変数でしか考えられないのです。

そう考えていくと、１ｃｍのところよりは０ｃｍのところの方が
「ありやすい」と思えると思います。

質問２、３についてはわかりません。すみません。

お礼

お礼が遅くなって失礼しました。わかりやすい詳しいご回答、ありがとうございました。

＞なぜかというと、円形の水槽だと、中心（近く）の面積は小さく、
＞距離が離れるにつれて、距離ごとの面積が大きくなるからです

おっしゃる通りですね。f(^-^
質問を書いてから、へんだと思って、上に「訂正質問」を出して、中心を通る線を引くとしてその線からの距離で測ると・・・って直したんですが、なぜか削除されてしまっています。

＞確率分布変数でしか考えられないのです。

納得がいきました。

ご回答ありがとうございました。