対数方程式(真数の条件)

質問

ちょっと分からないところがあるので質問させてください。
対数方程式の問題なんですが、
【次の方程式を解け。】※logの隣にある[]の中の数字は低です。10^1は10の1乗です。
log[10](x+2)(x+5)=1
真数は正なので　(x+2)(x+5)>0
これを解いて、　x<-5, -2<x・・・(1)
対数の定義から (x+2)(x+5)=10^1
整理すると、　　x^2+7x=0
これを解いて　　x=0, -7　((1)満たす)　　

となるようなんですが、
これを解いて、　x<-5, -2<x・・・(1)
どうして、↑になるか分かりません。

自分なりに解くと、
x+2>0 ・・x>-2
x+5>0 ・・x>-5
となってしまいます。
どうして、x>-5の不等号の向きが逆になるのでしょうか？
よろしくお願い致します。m(_ _)m

回答No.2

proto · ベストアンサー

＃1さんの解説が式から導く方法ですが、グラフで考えてみてもわかりやすいです。
y=(x+2)(x+5)のグラフは、x=-2,-5を代入するとy=0となるので
x=-2,-5でｘ軸と交わります。
さらに展開してy=x^2+7x+10より下に凸になりますね。
ということは-2から-5の間ではx軸よりも下側に入り込んでいることになりますから、逆にx<-5,-2<xのときはy>0ということになります。

文字だけではなんでしょうから、一度雑にでもいいのでグラフを書いてみるとわかりやすいでしょう。

お礼

分かりやすい解説ありがとうございました。
とても参考になりました！
ありがとうございました！m(_ _)m

回答No.3

charmer29-2

この問題は、単純にこう解けばいい問題です。
--
log[10](x+2)(x+5)=1
ここでlog[10](Y)とおき、Y=(x+2)(x+5)を整理すると
Y=x^2+7x+10
一方、log[10](Y)=1を満たすYは定義から10^1となります。
つまり、先の式でY=10となるxを二次方程式の解法に則って解くと、
x=0、-7が得られます。
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尚、この二次式のグラフはY=x^x+7x+10を変形して(Y+2.25)=(x+3.5)^2となります。
つまり、Y=x^2のグラフを左に3.5、下に2.25移動したグラフとなります。

お礼

そんな解き方もあるんですね。
参考にさせていただきます。
ありがとうございました！

回答No.1

ccyuki

(x+2)(x+5)>0　は２次不等式といいます。
細かく解くと　x+2とx+5をかけてプラスになるので
　　x+2>0　かつ　x+5>0
　　または　x+2<0　かつ　x+5<0
となります。
わかりますか？　かけてプラスだから
プラス×プラス　または　マイナス×マイナス　です
　　x+2>0　かつ　x+5>0　　から　x>-2
　　x+2<0　かつ　x+5<0　　から　x<-5　が導かれます。

お礼

2次不等式でやったときの事おもいだしました。
ありがとうございました！m(_ _)m