積分の計算 I=∫[-∞～+∞] ((x^2+x+2)/(x^4+10

質問

積分の計算　I=∫[-∞～+∞] ((x^2+x+2)/(x^4+10x^2+9))dx

という積分Iを解ける方がいましたら参考にさせて頂きたいです。

よろしくお願いいたします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

#1さんのヒントの通り、こういう問題の定石は被積分関数の分母を因数分解し、部分分数展開してから積分することです。

((x^2+x+2)/(x^4+10x^2+9))
=(x^2+x+2)/((x^2+1)(x^2+9))
=(1/8)(x+1)/(x^2+1) - (1/8)(x-7)/(x^2+9)
=(1/8)x/(x^2+1)+(1/8)1/(x^2+1)-(1/8)x/(x^2+9)+(7/8)/(x^2+9)

I=(1/8)∫x/(x^2+1)dx+(1/8)∫1/(x^2+1)dx-(1/8)∫x/(x^2+9)dt+(7/8)∫1/(x^2+9)dx
= …　（途中計算は出来ると思いますのでやってみてください）
=(1/16)log(x^2+1)+(1/8)tan^-1(x)-(1/16)log(x^2+9)+(1/16)log(x^2+1)
+(7/24)tan^-1(x/3)) +C

分からなければ補足で質問下さい。

お礼

参考になりました。
ありがとうござました。

回答No.4

info22_

#2,#3です。

A#2の解の補足です。
>積分の上限と下限を入れる
ところは不定積分結果I(x)に対して
lim[x->∞]　I(x) - lim[x->-∞] I(x)
の計算をします。

この積分を別の観点から見ると積分区間が対称なので、奇関数項は積分がゼロになり、偶関数項の積分は積分区間[0,∞]の積分の2倍になります。

I=∫[-∞～+∞] (x^2+x+2)/(x^4+10x^2+9)dx
=2∫[0～+∞] (x^2+2)/(x^4+10x^2+9)dx
=2∫[0～+∞] (x^2+2)/((x^2+1)(x^2+9)dx
=(1/4)∫[0～+∞] {1/(x^2+1)+7/(x^2+9)}dx
=(1/4)[tan^-1(x)+(7/3)tan^-1(x/3)] [0～+∞]
=(1/4)(π/2){1+(7/3)}
=5π/12
といった計算も出来ます。

お礼

参考になりました！！
ありがとうございます。

回答No.3

info22_

#2です。

A#2の続き

A#2の不定積分に積分の上限、下限を入れると
I=5π/12

別解）
複素積分に変換し留数定理を使う方法もある。
I=∫[-∞～+∞] (x^2+x+2)/(x^4+10x^2+9)dx
=∫[C] (z^2+z+2)/((z^2+1)(z^2+9))dx= =∫[C] f(z)dz
=2πi{Resf(i)+Resf(3i)}

Resf(i)=(-1+i+2)/(2i*8)=-i/16+1/16
Resf(3i)=(-9+3i+2)/(-8*6i)=(3i-7)/(-48i)=-1/16-i(7/48)

I=2πi{-i/16+1/16-1/16-i(7/48)}
=2π(1/16+7/48)
=5π/12

お礼

参考になりました。
ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

とりあえず部分分数に分解してみる.

お礼

ありがとうございました。
参考になりました。