偶置換全部の集合Aｎに対して『(e、f)An＝(i、j)An』?

質問

お世話になります。よろしくお願いします。
ただ今代数で置換群の所を勉強しております。

「ｎ次の対称群Snの偶置換全部の集合をAnとした時
1≦e,f,i,j≦nの互換(e、f)、(i、j)に対して
(e、f)An＝(i、j)An」
が成り立つみたいなのですが、直観的に理解できません。

どなたか説明ができる方、よろしくお願い致します。

回答No.3

arrysthmia · ベストアンサー

An が Sn の正規部分群であることから、商群 Sn / An が考えられるが、
位数 2 の有限群は一種類しかないから、
Sn / An は、位数 2 の有限体 Z / 2Z の加法群と同型である。
よって、Sn / An = { 偶, 奇 } と見なしてよい。

…あたりが、いかにも群論っぽい説明かと思いますが、
個人的には、No.2 のほうが好きです。
構成的だし、いろいろ補題の証明も要らないし。

( e, f ) = ( i, j )( i, j )　( e, i )( f, j )　( i, j )　( e, i )( f, j )
は、式が少し長すぎるかな？
No.1 さんの ( e, f ) = ( i, j ) ( e, f ) ( i, j ) のほうが良いですね。

お礼

再度のご回答どうもありがとうございます。

>No.1 さんの ( e, f ) = ( i, j ) ( e, f ) ( i, j ) のほうが良いですね。

とても自然で納得ができました。
(e,f),(i,j)が互いに素でない時（共通の文字を持つ時）も例えば
(e i)＝(i j)(e j)(i j)
とすればよいですね。

この方法なら
「Anが偶置換全部の集合を表す時、(i j)An （ただし1≦i,j≦n i≠j）
は奇置換全部の集合を表す。」
も自然に分かります。

参考書に載っていたのは多分ANo.3のやり方だと思います。
>個人的には、No.2 のほうが好きです。
私も同感です。こちらの方がとても分かりやすいです。

どうもありがとうございます。

回答No.2

arrysthmia

あまり難しいことを考えなくても～
( e, f ) = ( i, j ) ( i, j ) ( e, i ) ( f, j ) ( i, j ) ( e, i ) ( f, j ) だから、
( e, f ) σ = ( i, j ) μ と置くと σ ∈ An と μ ∈ An は同値である
～で、よいのでは？
e, f, i, j が皆異なるので、
( i, j ) ( e, i ) ( f, j ) ( i, j ) ( e, i ) ( f, j ) は ６個（偶数！）の互換の積です。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

>( e, f ) = ( i, j ) ( i, j ) ( e, i ) ( f, j ) ( i, j ) ( e, i ) ( f, j )
これを探すのも結構面倒なような気がするのですが・・・。

「Anが偶置換全部の集合を表す時、(i j)An （ただし1≦i,j≦n i≠j）
は奇置換全部の集合を表す。」
が示せればよいと思うのですが、
何かスッキリと示せる方法があるような気がしてなりません。

すみません、根拠はないんですが・・・。

回答No.1

kup3kup3

>「ｎ次の対称群Snの偶置換全部の集合をAn」

ポイントは「偶置換の全体がSnの部分群になる」ことです。
偶置換というのは互換・・・(3,4)とか(2.9)とかを
偶数個かけてできる置換の集まりで、
偶数＋偶数＝偶数だから、「偶置換と偶置換の積は偶置換」で、(3,4)^(-1)=(3,4)だから
「偶置換の逆元も偶置換」となるから。
(3,4)(2.9)(1,2)(4,6) この場合は4個（偶数個）の積で、これにもう一個
互換、例えば、(e,f)をかければ、(e,f)(3,4)(2.9)(1,2)(4,6)は奇置換に決まっている。
偶置換と奇置換の2種類しかないのだから、(e,f)Ａｎも(i,j)Ａｎも奇置換の集まりです。
つまりコセット分解を考えれば
Sn＝Ａｎ∪(e,f)Ａｎ、かつ　Ａｎ∩(e,f)Ａｎ=φ、
Sn＝Ａｎ∪(i,j)Ａｎ、かつ　Ａｎ∩(i,j)Ａｎ=φ、
ゆえに(e,f)Ａｎ=(i,j)Ａｎと証明は明らかだが・・・

写像　g:Ａｎ→　(e,f)Ａｎをx∈Ａｎにたいし
g(x)=(e,f)xは全単射、同様にh:Ａｎ→　(i,j)Ａｎを
g(x)=(i,j)xは全単射、故に(e,f)Ａｎ=(i,j)Ａｎ
とやっても直感的になってないか。
(e、f)Anをかきだしてみれば、Anの中に(i,j)・・・・(z,w)が必ずあるので、e,f,i,jがすべて異なれば、(e、f)(i,j)=(i,j)(e、f)だから、
(e、f)(i,j)・・・・(z,w)=(i,j)(e、f)・・・・(z,w)
となるし、(i,j)Ａｎからやっても同様。あと
e,f,i,jの中に同じものがある時を考え、交換できるか、どうなるかでできそうな・・

補足

ご回答どうもありがとうございます。

>つまりコセット分解を考えれば

これより前の部分は良く分かるのですが、この先の部分がまだ良く分かりません。

まず
>Sn＝Ａｎ∪(e,f)Ａｎ、かつ　Ａｎ∩(e,f)Ａｎ=φ
の部分ですが、
『Sn＝Ａｎ∪(e,f)Ａｎ』この式がなぜ明らかなのかが分からないのですが・・・。
この式は(e,f)Ａｎがｎ次の奇置換全部の集合を表しているということを意味していると思うのですが、このことはなぜ明らかでしょうか？

次に
>写像　g:Ａｎ→　(e,f)Ａｎをx∈Ａｎにたいし
>g(x)=(e,f)xは全単射、同様にh:Ａｎ→　(i,j)Ａｎを
>ｈ(x)=(i,j)xは全単射、故に(e,f)Ａｎ=(i,j)Ａｎ
の部分ですが、
写像g、ｈが全単射というのは分かるのですが、
その時なぜ『(e,f)Ａｎ=(i,j)Ａｎ』が成り立つのが明らかなのかが分からないのですが・・・。

よろしくお願い致します。