行列式と置換

質問

Ａ：p次行列、　Ｂ：(p,q)行列、　Ｃ＝０、　Ｄ：q次行列
p + q = n 、Ｘ＝(x_ij)のもとで

　 　｜ＡＢ｜
|Ｘ|＝　｜ＣＤ｜　＝｜Ａ｜X｜Ｄ｜

になる証明のプロセスについて質問します。
-------------------------------------------------------
i＼j p q
p　 ｜ＡＢ｜
q　 ｜ＣＤ｜

i > p, j≦p ⇒ x_ij＝０
よって行列式の定義式　Σsign(σ) a_σ(1),1 ... a_σ(n),n
において

j≦p ⇒ σ(j)≦p　
であるようなσに対する項だけが残る　(ここまでは多分大丈夫です)

この条件をみたすσは{１,・・・,p}の置換σ1と{p+1,・・・,n}
の置換σ2の積として表わされる　・・・（*）

(*)の部分がよく分かりません。
説明していただけないでしょうか、お願いします。

回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

えぇと.... すみません, 何がよくわからないのかがよくわからなくなりました.
「σ が { 1, ..., p+1 } 上の置換である」ことと「任意の j ≦ p に対して σ(j) ≦ p である」ことから「任意の j > p に対して σ(j) > p である」ことはすぐですよね. ここから
「置換は{1,...,p}→{1,...,p}、{p+1,...,n}→{p+1,...,n}のような形になっていて」
となって
「そのような置換 σ が {1, ..., p}の置換σ1と {p+1, ..., n} の置換σ2の積として表わされる」
と続きます. 1～p は 1～p だけ, p+1～n は p+1～n だけで入れ替わってるんですよね. だとしたら, 前者をあらわす置換と後者をあらわす置換の積で書けることもほぼ自明なんじゃないかな.
まあ, どうしてもやりたければ「任意の置換が巡回置換の積として (順序を無視して) 一意に書ける」ことを使ってもいいけど.

補足

自分の中で置換の積というと
[1,2,3,4]　　[1,2,3,4]　　　[1,2,3,4]
　　　　　＝　　　　　　＊
[1,3,4,2]　　[1,4,3,2]　　　[1,3,2,4]

のように置換{1,...,n}→{1,...,n}同士の積が{1,...,n}→{1,...,n}に
写るというイメージで何かが求まるのですが、ここでのσ＝σ１σ２
でいう積はイメージ的には直積([1,..,p] × [p+1,...,n]?)といった
ところですか？

回答No.2

Tacosan

あ, あれ? じゃあ方針変更.
考えなきゃならない置換は, j ≦ p のときに σ(j) ≦ p であるもの, だけですよね?
これを前提として, 例えば σ(p+1) = 1 であるような置換は考える必要がありますか?
置換が全単射である, つまりこの場合には p+1 以外に σ(j) = 1 となるものがないということを念頭において考えてみてください.

補足

＞置換が全単射である, つまりこの場合には p+1 以外に σ(j) = 1となるものが
＞ないということを念頭において考えてみてください.

σ(p+1) = 1　であるような置換があるのですか？
置換は{1,...,p}→{1,...,p}、{p+1,...,n}→{p+1,...,n}のような形になっていて
全単射になると思っていました。そういった考えで
j≦p ⇒ σ(j)≦p　となる置換σは{1,...,p}→{1,...,p}だと思っていたのですが。
j > p はどう考えればよいのですか？

回答No.1

Tacosan

集合 { σ(j) | j ≦ p } を考えればほぼ自明では?
σ が置換であるという条件から, この集合は { 1, 2, ..., p } に一致しますよね.

補足

回答して頂いてありがとうございます。
なぜ自明であるのかがよく分かっていないです。回答にある集合が
{ 1, 2, ..., p } に一致するのは理解しているのですが。

(1) j ≦ p では行について p+1 行目以上が０
→　j ≦ p　⇒ σ(j)≦p
(2) j > p では０の項がない
→　σ(i)＝ 1～n となり得る
といった考え方をしているのですが、ここから(*)のようになる
というのがいまいち分からないです。

お手数ですが、再度回答をお願いします。