イデアルであることの証明

質問

Ｔ＝ΣＣ[x1,x2,...,xn]ei　（←i=1からnまでの和）
　＝｛Σfi(x)ei |fi(x)∈Ｃ[x1,...,xn]｝
Ｔをこのようにおきます。
（後半は集合として表しています。）

【注意点】
Ｃ[x1,x2,...,xn]はn変数複素係数多項式
eiは基本対称式を表しています。
（※xnのnは添え字です。）
（※ei、fi(x)のiは添え字です。）

このＴがイデアルであることを示したいと考えています。
イデアルであることを示すためには
(1)ベクトル空間である（和とスカラー倍に関して閉じている。）
(2)Ｔの任意の元と勝手な多項式の積もまた閉じている。
この２つを示せばいいと思うのですが、
どのように示せば良いのでしょうか？
教えて下さい。

回答No.1

stomachman

「基本対称式」が何であるか、ってことは、この問題では全然関係ないみたいですね。多項式環を扱うような高等数学をやっている方が、どうにも手がつけられないなんて筈がないように思いますが…

(1) 「スカラ倍について閉じている」という命題の意味は、「Tのどんな元pについても、それにスカラαを掛けたものはまたTの元になってる」ということであって、さらに言い換えれば、「Tのどんな元pについても、
αp(x)= Σgi(x)ei
となるgi(gi∈Ｃ[x1,...,xn], i=1,2,....,n)が存在する」ってことです。ここが飲み込めれば、後は簡単この上ない。
p∈Tなんだから、
p(x) = Σfi(x)ei
となるfi(fi∈Ｃ[x1,...,xn], i=1,2,....,n)が存在しています。ですから
gi(x) = αfi(x)
とすれば、gi∈Ｃ[x1,...,xn], i=1,2,....,n になってるのは自明、で証明終わりです。

「和について閉じている」という命題は、「Tのどんな元p, qについても、
p(x)+q(x) = Σhi(x)ei
と表せるようなhi(hi∈Ｃ[x1,...,xn], i=1,2,....,n)が存在する」ってことを意味しています。
これもp∈T, q∈Tなんだから、
p = Σfi(x)ei
q = Σgi(x)ei
とできて、従って、hiをどう作れば良いかは明らかでしょう。

(2)「Ｔの任意の元と勝手な多項式の積が閉じている」ってのは、「任意のg(x)∈Ｃ[x1,x2,...,xn]と任意のp∈Tについて、
g(x)p(x) = Σhi(x)ei
となるhi(hi∈Ｃ[x1,...,xn], i=1,2,....,n)が存在する」ってことと同じ意味ですね。
これまた、p∈Tなんだから、
p(x) = Σfi(x)ei
となるfi(fi∈Ｃ[x1,...,xn], i=1,2,....,n)が存在しています。
そして、Ｃ[x1,...,xn]は積について環になってる。（つまりＣ[x1,...,xn]の任意の元u,vについて、それらの積uvもまたＣ[x1,...,xn]の元になる、って意味です。）
だから、後はもうお分かりでしょう。