確率変数変換

質問

X1,X2,・・・,Xnが互いに独立な連続型確率変数であるとし、
Fi、i=1,・・・,nをXiの分布関数とすると、T=-2ΣlogFi(Xi) (Σはi=1からnまでです)　これが自由度2ｎのカイ二乗分布に従うことを示せ。

色々試してみたのですが計算がぐちゃぐちゃになってしまい困っています。ヒントだけでもいいのでよろしくお願いします。

回答No.1

zk43 · ベストアンサー

Tの積率母関数が自由度2nのカイ二乗分布の積率母関数(1-2θ)^(-n)に
一致することを証明することにより、Tが自由度2nのカイ二乗分布に
従うことを示す。（積率母関数が一致すれば分布は一致するということ
は既知とする。）

ΦT(θ)=E(e^θT)
=E[e^(-2θ(logF1(X1)+…+logFn(Xn)))]
=E[e^(logF1(X1)^(-2θ))…e^(logFn(Xn)^(-2θ))]
=E[F1(X1)^(-2θ)…Fn(Xn)^(-2θ)]
=E[F1(X1)^(-2θ)]…E[Fn(Xn)^(-2θ)]

ここで、
E[Fi(Xi)^(-2θ)]=∫(x:-∞→∞)Fi(x)^(-2θ)dFi(x)
=[Fi(x)^(1-2θ)/(1-2θ)](x:-∞→∞)
=Fi(∞)^(1-2θ)/(1-2θ)-Fi(-∞)^(1-2θ)/(1-2θ)
=1/(1-2θ)=(1-2θ)^(-1)

よって、
ΦT(θ)=(1-2θ)^(-1)…(1-2θ)^(-1)（n個の積）
=(1-2θ)^(-n)
これは自由度2nのカイ二乗分布の積率母関数である。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。
おかげ様でやっと分かりました