どう解いたらいいのか教えてください。

質問

σ(t)=∫(－∞→t)G(t-t')γドット（t'）dt'
G(t)=Gexp(-t/τ)
ドット＝γの上につく点
とあって、これがdσ/dt+1/τ=Gdγ/dtを満たすことを代入して確かめなくてはいけないのですが、どう計算すればいいのか過程が分かりません。
特に、t-t'のとこをどう処理していいのか分からないのですが、教えてください。

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

数学では極限移行を厳密に評価しますが、物理では形式的な計算で済ませてしまいます。以下は形式的な計算です。パラメーターが積分範囲と被積分関数の両方に入っている場合のパラメーターに関する微分の公式をまず求めます。2変数関数f(s,t)についてaを定数とすると

　(d/dt)∫{a～t}f(s,t)ds
　= lim(1/Δt){∫{t～t+Δt} f(s,t+Δt)ds + ∫{a～t} (f(s,t+Δt)-f(s,t))ds}

f(s,t)について適当な連続性を仮定すると

lim(1/Δt){∫{t～t+Δt} f(s,t+Δt)ds }
　= lim(1/Δt){ f(t,t+Δt)Δt } = f(t,t)
偏微分と積分の交換可能性を仮定すると
　lim(1/Δt){ ∫{a～t} (f(s,t+Δt)-f(s,t))ds}
　= ∫{a～t} ∂f(s,t)/∂t ds
したがって

　(d/dt)∫{a～t}f(s,t)ds
　= f(t,t) + ∫{a～t}∂f(s,t)/∂t ds

という公式が成り立ちます。これを用いると
　dσ/dt
= G dγ/dt + G∫(－∞→t) ∂[exp(-(t-t')/τ)γドット(t')]/∂t dt
= G dγ/dt - (G/τ)∫(－∞→t) exp(-(t-t')/τ)γドット(t') dt
= G dγ/dt - σ/τ
なので
　dσ/dt +σ/τ= G dγ/dt
これはご質問の式と少し違いますが、多分ご質問の誤植と思います。数学的にきちんとやるにはγについて何らかの条件が必要と思います。

お礼

ご丁寧に回答していただきありがとうございます。(T_T)本当に助かりました。
そうですね。ご指摘のとおり式書き間違えです。τ分の一の後にσ書くの忘れました。
どちらの回答も本当に本当にありがたかったんですが、一番早い回答を頂いたあなた様に20pt差し上げます。

回答No.2

oyaoya65

積分の中ではt'が変数でtは定数と見なしてください。

＞dσ/dt+1/τ=Gdγ/dt
この式間違っていませんか？
次式が正しいかと思いますがいかがでしょうか？
dσ/dt+σ/τ=Gdγ/dt

またγドット（t）はγ(t）の時間微分で
dγ/dt
と同じですね。

σ(t)=∫(－∞→t)G(t-t')γ'(t')dt'
=G(t)∫(－∞→t) exp(t'/τ)γ'(t')dt'

dσ/dt=G'(t)∫(－∞→t) exp(t'/τ)γ'(t')dt'
+G(t)exp(t/τ)γ'(t)
=-(1/τ)G(t)∫(－∞→t) exp(t'/τ)γ'(t')dt'
+Gγ'(t)
=-(1/τ)∫(－∞→t) exp((t'-t)/τ)γ'(t')dt'+Gγ'(t)
=-(1/τ)σ+Gγ'

後、移行すれば結果の式になりますね。
ただし、質問者の質問の式が訂正の式であったとすればの話ですが？

お礼

ご丁寧に回答していただきありがとうございます。(T_T)本当に助かりました。
そうですね。ご指摘のとおり式書き間違えです。τ分の一の後にσ書くの忘れました。
マジで助かりました。