粒子の存在確率

質問

空間に体積Ｖ、表面Ｓの領域を考えたとき、
粒子の存在確率Ｐの時間変化　φ※：ファイ・スター
　　　　　　　　　　　　　　　　 ｒ：空間ベクトル
　(dＰ/dｔ)＝(∂/∂ｔ)∫vφ※(r,t)・φ(r,ｔ)dｒ
　　　　　　＝∫v((∂φ※/∂ｔ)φ＋φ※(∂φ/∂ｔ))dｒ
という式から、
　(∂/∂ｔ)∫ρdｒ＋∫Ｓn・dＡ＝０
を導出するときの途中計算を教えて下さい。

ｉＨ(∂/∂ｔ)φ(x,t)＝－(Ｈ^2/２ｍ)(∂^2/∂ｘ^2)φ(x,t)＋Ｖ(x)φ(x,t)
及び、この複素共役式を利用し、　（H：エイチ・バー）
∇・(φ※∇φ)＝∇φ※＋∇φ＋φ※∇^2φ
などのベクトル演算子も用いて解くそうです。

如何なものでしょうか？

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．

> プランク定数/2πもハミルトニアンも同じＨじゃ困っちゃいます．
ハミルトニアンを普通Ｈで表現するから，...
というつもりだったのですが，書き方がまずかったです．

補足を拝見しましたが，これ自体がほとんど完全でていねいな導出になっています．
これで途中が埋まらないのでしたら，
たまたまこの問題がわからないというよりは，
それ以前のところに問題があるように思えます．

以下のあたりを確認してください．

○　波動関数の時間微分とハミルトニアンを作用させることとの関連はＯＫ？
　　(要するに時間依存のシュレーディンガー方程式)
○　φ* に対するシュレーディンガー方程式はＯＫ？
○　Δ(ラプラシアン)はＯＫ？
○　勾配(grad)，発散(div)，ナブラ(∇)はＯＫ？
○　∇・(φ※∇φ)＝∇φ※＋∇φ＋φ※∇^2φ　はちょっと変ですね．
　　∇・(φ※∇φ)＝(∇φ※)(∇φ)＋φ※∇^2φです．
　　要するに，∇は微分演算子ですから，積の微分の公式に相当します．
○　ガウスの発散定理∫v∇・Ｓdｒ＝∫vｄｉｖＳdｒ＝∫sＳn・dA はＯＫ？
　　わからなければ電磁気，あるいはベクトル解析のテキストを探してください．
　　体積積分を表面積分に変換する定理です．
○　Ｓは「流れの密度」「流束密度」などという量ですが，ＯＫ？

> ∫sＳn・dＡは表面Ｓを通って流出する粒子の流れの密度Ｓの面積和だそうです。
> それが∫vρdＶの時間変化に等しいと。
の意味はＯＫですか？
ある領域をとって，その領域内の粒子密度の時間変化を見ます．
粒子は勝手に生まれたり消滅したりしませんから，
密度が減少すればその分はその領域から外へ流れ出ているわけです．
流れ出る量を表しているのが ∫sＳn・dＡ です．
連続というのは上のようなことです．

補足

細かな追記、ありがとうございます。

△、勾配、発散、∇、ガウスの発散定理など、
これらは今ある資料で調べられると思いますが、
他の項目については駄目かもしれません。

ハミルトニアンに至っては、
ノートの三分の一しか使っていませんし、
なにより関わった事もない専門でもないものを
たかだか４・５時間の講義でと言うのが無茶です。

いずれにしても、私の知識では解けませんので、
空き時間を見つけて図書室にでも行って見ます。
他の計算だけの問題なら何とか解けそうですし。

大体、教えてないところを出題されても意味がわからない・・・。
終了４５分前まで井戸型ポテンシャルだったのに。

回答No.3

siegmund

siegmund です．

今の話では
－(Ｈ^2/２ｍ)(∂^2/∂ｘ^2)＋Ｖ(x)
がハミルトニアンです．
３次元なら
－(Ｈ^2/２ｍ)Δ＋Ｖ(x)
第１項が運動エネルギー，第２項がポテンシャルエネルギーです．
これを波動関数に作用させたものが本質的に波動関数の時間微分
(係数がつきますが)だというのがシュレーディンガー方程式です．

> 大体、教えてないところを出題されても意味がわからない・・・。
う～ん，質問内容からして，powerless さんは大学生ですよね．
それなら，自分でいろいろ調べて考える，というところがあっても
いいと思うんですがね．
いつまでも他人が懇切丁寧に教えてくれるわけではありませんから
(ちょっとレベルが高くなればそもそもそういうことは不可能です)，
今のうちに自分で調べたり考えたりする習慣をつけておきたいところです．

お礼

＞自分でいろいろ調べて考える
勿論のことです。
私だって自分で調べています。
只、課題の数が非常に多いものですから
こうして多方面に資料や助言を求めている訳です。
今回の量子の課題も、あと２つ別問題がありましたし、
反応工学や材料組織学、移動現象に応用数学からも出ています。
従って、自分が調べたくないから掲示をしているのではないと
この場を借りてことわっておきます。
しかし、seigmundさんの多岐にわたる解答には感謝しております。
本当にありがとうございました。
まぁ、ガウスの定理使用後の式の複素数〔ｉ〕が
参考書・資料によって分母に来ていたり分子に来ていたりしたのが
何気に気になったのですが、本当のところは如何なのでしょう。
因みに私は分母でした。

回答No.1

siegmund

どうもレポート問題みたいですので
(前の井戸型ポテンシャルの時もそうでしたね)，
ヒントのみ．
大体，量子力学のテキストをいくつか漁れば見つかるはずと
思うんですがね．

そもそも，式の書き方がちょっと．．．．
全角，半角の区別があるとはいえ，プランク定数/2πもハミルトニアンも
同じＨじゃ困っちゃいます．
それから，∫Ｓn・dＡもなんだかわかりません．
面積分のはずですが，S が領域？ n は？ A は？

(1)　　(dＰ/dｔ)＝(∂/∂ｔ)∫vφ*(r,t)・φ(r,ｔ)dｒ
　　　　　　　　＝∫v((∂φ*/∂ｔ)φ＋φ*(∂φ/∂ｔ))dｒ
で，(∂φ*/∂ｔ)などは H を用いて表現できますね．
H の具体形を入れれば，ポテンシャルの項は消えて，
ラプラシアンのところが
(2)　　φΔφ* - φ*Δφ = div(φ∇φ* - φ*∇φ)
ですが，これの体積積分はガウスの発散定理で表面積分に変換できますね．
そこが，本質的に ∫Ｓn・dＡ に相当するはず．

いわゆる，連続の方程式の量子力学版です．

補足

今回の問題に関しては、出題者側からの説明は一切ありませんでした。
　「こんな風に計算していけばでるでしょう」というものです。
　参考書が省いた計算を記述する類いなので、
　他の資料でも調べてみたいのですが、それは今度の空き時間にでも。
　今度は全文記入します。
　前は幾つか記入ミスがありましたので、すみません。

　(Ｈ：エイチバー)(Ｓ，r：ベクトル表記されています)
　(Ｓn：説明は有りませんでした。)　

　空間に体積Ｖ、表面Ｓの領域を考え、
　この内部の粒子の存在確率Ｐの時間変化を考えると

　　(dＰ/dｔ)＝(∂/∂ｔ)∫vφ*(r,t)・φ(r,ｔ)dｒ
　　 　　　　＝∫v((∂φ*/∂ｔ)φ＋φ*(∂φ/∂ｔ))dｒ

　これに下式、及びこの複素共役式を用いると　

　　[式]ｉＨ(∂/∂ｔ)φ(x,t)＝－(Ｈ^2/２ｍ)(∂^2/∂ｘ^2)φ(x,t)＋Ｖ(x)φ(x,t)

　　(dＰ/dｔ)＝(－ｉＨ/２ｍ)∫v(φ*∇^2φ －(∇^2φ*)φ)ｄｒ

　∇・(φ※∇φ)＝∇φ※＋∇φ＋φ※∇^2φ　などのベクトル演算子を用いると、

　　(dＰ/dｔ)＝(ｉＨ/２ｍ)∫v[φ*∇φ －φ∇φ*]ｄｒ

　更に

　　∫v∇・Ｓdｒ＝∫vｄｉｖＳdｒ＝∫sＳn・dＡ

　のガウスの定理を用いると、結局

　　(dＰ/dｔ)＝(ｉＨ/２ｍ)∫v[φ*∇φ －φ∇φ*]nｄＡ
　　　　　　 ＝(ｉＨ/２ｍ)∫v[φ*(∂φ/∂ｎ) －φ(∂φ*/∂n)]ｄＡ

　のように表される。ここで、ρ(r,t)＝│φ(r,t)│^2の確率密度以外に

　　Ｓ＝(－ｉＨ/２ｍ)[φ*∇φ －φ∇φ*]

　という量を定義すれば

　　(∂/∂ｔ)∫vρdＶ＋∫sＳn・dＡ＝０ 　　【　以上、全文　】

　∫sＳn・dＡは表面Ｓを通って流出する粒子の流れの密度Ｓの面積和だそうです。
　それが∫vρdＶの時間変化に等しいと。
　尚、ハミルトニアンとやらは説明文中には見当たりません。
　ガウスの発散定理、連続の式とかも判りません。