電磁場中の荷電粒子の確率密度流の表式を導け

質問

電磁場中の荷電粒子の確率密度流の表式を導けというう問題なのですが、
どなたか助けてください

ψ**をψの複素共役（表記）
確率密度の時間微分∂tψ**ψにシュレディンガー方程式を代入して求めるのですが、その途中の計算があいません
計算の分からない部分を抽出すると、以下の等式が合いません。
ψ**(∇-A)^2ψ - ψ(∇+A)^2ψ**　=　∇｛ψ**(∇-A)ψ - ψ(∇+A)ψ**｝
（∇とAはベクトル）
(Aはベクトルポテンシャル*定数)

回答No.2

eatern27 · ベストアンサー

結論から言うと、その式変形で間違っているのは
>= -A(∇ψ**)ψ-A(∇ψ)ψ** + ψ**{∇^2-(∇A)-A∇+A^2}ψ-ψ{∇^2+(∇A)+A∇+A^2}ψ**
>= -A∇(ψψ**) + 左辺
この変形です。式の後半部分が示したい式の左辺に等しくありません。

ψ**(∇-A)^2ψ
=ψ**{∇^2-∇A-A∇+A^2}ψ　・・・(★)
の第二項はψ**∇(Aψ)=ψ**div(Aψ)の意味であって、ψ**(∇A)ψ=ψ**div(A)ψの意味ではなりからです。

ただ、証明の流れと言う意味では
>右辺 = (∇ψ**)(∇-A)ψ-(∇ψ)(∇+A)ψ**+ψ**∇{(∇-A)ψ}-ψ∇{(∇+A)ψ**}
>= (∇ψ**)(∇ψ)-(∇ψ)(∇ψ**)-(∇ψ**)Aψ-(∇ψ)Aψ** + ψ**{∇^2-(∇A)-A∇}ψ-ψ{∇^2+(∇A)+A∇}
この後半部分の∇(∇-A)=∇^2-(∇A)-A∇という変形が余計です。
∇(∇-A)=∇^2-∇A
と単に展開するだけに留めておけば、(★)式の第1,2項そのものになっています。

また、(★)の第3項(A∇の項)は、
>= -A(∇ψ**)ψ-A(∇ψ)ψ** + ψ**{∇^2-(∇A)-A∇+A^2}ψ-ψ{∇^2+(∇A)+A∇+A^2}ψ**
この式(#1への補足の最後から2行目)の前半部分にありますね。

お礼

わかりました。ご説明ありがとうございます。
★の部分を勘違いしていたんですね！

回答No.1

eatern27

計算が合わないって、貴方の計算ではどうなったのですか？
基本的には頑張って計算するだけなのですが。

補足

以下が私の計算です。
間違い等をご指摘いただけるとうれしいです。
示したい式 ψ**(∇-A)^2ψ-ψ(∇+A)^2ψ**　=　∇{ψ**(∇-A)ψ-ψ(∇+A)ψ**}

右辺 = (∇ψ**)(∇-A)ψ-(∇ψ)(∇+A)ψ**+ψ**∇{(∇-A)ψ}-ψ∇{(∇+A)ψ**}
= (∇ψ**)(∇ψ)-(∇ψ)(∇ψ**)-(∇ψ**)Aψ-(∇ψ)Aψ** + ψ**{∇^2-(∇A)-A∇}ψ-ψ{∇^2+(∇A)+A∇}ψ**
= -A(∇ψ**)ψ-A(∇ψ)ψ** + ψ**{∇^2-(∇A)-A∇+A^2}ψ-ψ{∇^2+(∇A)+A∇+A^2}ψ**
= -A∇(ψψ**) + 左辺