[命題]0°≦ x,y ≦90°でcosx+cosy=1の時、1/2≦cos((x+y)/2)≦1/√2

質問

宜しくお願い致します。入試問題なのですが

[問]0°≦ x,y ≦90°でcosx+cosy=1の時、
1/2≦cos((x+y)/2)≦1/√2
となる事を示せ。

という問題なのですがどのようにして証明すればいいのでしょうか?

回答No.2

oyaoya65 · ベストアンサー

方針のヒントだけ

１）三角関数の和積の公式を適用する。
http://www.ffortune.net/kazu/formula/trigonometric.htm

２）(x+y)/2と(x-y)/2
の取りえる範囲から
cos{(x+y)/2}とcos{(x-y)/2}の取りえる範囲を求める。

３）cosx+cosy=1の関係を積和に変換した式に適用する。

４)２）と３）の結果を使って結果を導く。

あとは自分でやってみてください。
分からないところは途中までの解答を示して補足質問をしてください。

お礼

有り難うございました。
お陰さまで上手くいきました。

補足

皆様、ご回答有り難うございます。

> ２）(x+y)/2と(x-y)/2
> の取りえる範囲から
0°≦(x+y)/2≦90°
-45°≦(x-y)/2≦45°
ですね。

> cos{(x+y)/2}とcos{(x-y)/2}の取りえる範囲を求める。
0≦cos((x+y)/2)≦1
1/√2≦cos((x-y)/2)≦1…(*)
ですね。

1=cosx+cosy=2cos((x+y)/2)cos((x-y)/2)(∵公式)
より
cos((x+y)/2)cos((x-y)/2)=1/2
で
cos((x+y)/2)=(1/2)/cos((x-y)/2)
で(*)より
(1/2)/1≦cos((x+y)/2)≦(1/2)/(1/√2)
で
1/2≦cos((x+y)/2)≦1/√2
と上手くいきました。

回答No.1

bahoo

課題の委託は禁止されています。

ヒントだけ。
cosx+cosyは積に直せます。x,yの範囲で...

お礼

有り難うございました。
お陰さまで上手くいきました。