三角関数の問題です

質問

x、yは0°≦y≦90°であり、cosx+cosy=1を満たしている。このとき、

　1/2≦cos(x+y)/2≦1/√2を示せ

　この問題の解答をお願いします

回答No.3

QoooL

たぶん今日河合塾の全統（記述）模試ですね。
時間的にだいぶ急いでいたようで。遅くなってしまいましたが。

基本的に私も＃２の方と同じ解答方針です。
ただ、これでは１箇所減点されかねないと思うので、補足します。

私も、ｘの範囲条件教えて欲しかったですね。
「和積の公式」というヒントを差し上げたのは
　　cos(x+y)/2　がきっと　cos((x+y)/2)　の書き間違いだろうな
と思ったからです。
紙で解答を書くときもそうですが、パソコンのときは特に、cos　の中身がどこまでか、を示さないと、２通りに誤解されますね。（　cos(x+y)/2　と書いたら、普通は、cos　をとってから２分の１する、という表記法です。）
＃２の方と同様の仮定の下で補足します（式もお借りします）。

　cos((x＋y)/2)cos((x－y)/2)＝1/2　…(※1)
よって　cos((x＋y)/2)≠0　、　cos((x－y)/2)≠0
これは曲げようもありません。同値、同値、で進んできます。
cos((x＋y)/2)＝Ａ
cos((x－y)/2)＝Ｂ　とおくと
　ＡＢ＝1/2　、　Ａ≠0　、　Ｂ≠0　…(３つ合わせて※1’)
ですね。

0°≦ｘ≦90°, 0°≦y≦90°
⇒　0°≦x＋y≦90°, -90°≦ｘ－y≦90°
⇔　0°≦(x＋y)/2≦90°, -45°≦(ｘ－y)/2≦45°
この、⇒　の部分が同値（必要十分条件）ではなく、必要条件に過ぎないことが注意ポイントです。

ｘ，ｙは　0°≦(x＋y)/2≦90°　…(※4), -45°≦(ｘ－y)/2≦45°　…(※5)　の両方を同時に満たすはずですが、

0°≦(x＋y)/2≦90°　…(※4), -45°≦(ｘ－y)/2≦45°　…(※5)　の両方を同時に満たすからといって、0°≦ｘ≦90°かつ　0°≦ｙ≦90°とは限らない　のです。（反例：　ｘ＝40、ｙ＝100）

高校生（勝手に決めつけてごめんなさい）にとってわかりにくい話かも知れませんが、とても大切な部分で、テストでも減点対象になります。
ｘ＾2＝9　だからといって、ｘ＝3　とは限らない　という話に似ています（ｘ＝-3　の可能性）。

したがって、
0°≦ｘ≦90°, 0°≦y≦90°
（⇒　0°≦(x＋y)/2≦90°, -45°≦(ｘ－y)/2≦45°）
と　cos((x＋y)/2)≠0　より
　0＜cos((x＋y)/2)≦1　かつ　1/√2≦cos((x－y)/2)≦1
つまり
　0＜Ａ≦1　…(※6)　かつ　1/√2≦Ｂ≦1　…(※2’)
が必要条件として導かれますが、
　(※6)かつ(※7)を満たすからといって、(※1’)を満たすとは限らない、となります。

もう少し具体的に見て行きましょう。

(※1’)より　Ｂ＝(1/2)/Ａ　…(※3’)

これを　1/√2≦Ｂ≦1　…(※2’)　に代入　　…(※※※)

1/√2≦Ｂ≦1
⇔　1/√2≦(1/2)/Ａ≦1
⇔　2/√2≦1/Ａ≦2
⇔　1/2≦Ａ≦√2/2　…(※2”)
⇔　1/2≦cos((x＋y)/2)≦1/√2

一見これで証明終わりのように見えますが、
(※6)　かつ　(※2’)　という条件のうち、(※2’)の方しか使っていないので、
　　　(※2)　かつ　(※1’)　なら　(※2”)　というのが、
　　　(※6)　も同時に満たしている　ということを確かめなければなりません。

なかなか説明が難しいのですが…
(※※※)の部分で、もしも　(※2’)　に代入　ではなく　(※6)　に代入　をしていたらどうなったか、
を考えましょう。

(※1’)より　Ａ＝(1/2)/Ｂ　…(※3”)
これを　0＜Ａ≦1　…(※6)　に代入　　…(※※※’)

0＜Ａ≦1
⇔　0＜(1/2)/Ｂ≦1
⇔　0＜1/Ｂ≦2
⇔　1/2≦Ｂ　…(※6’)
⇔　1/2≦cos((x－y)/2)

（もちろん、cos((x－y)/2)≦1　より　Ｂ≦1　）

これは　(※2’)　を満たす

以上より、
　(※2)　かつ　(※6)　かつ　(※1’)　なら　(※2”)　
ということが示されました。

＞＃２の方へ　（あるいは、詳しい方お願いします）

　0＜cos((x＋y)/2)≦1　…(※7)
　かつ　1/√2≦cos((x－y)/2)≦1　…(※8)

という式は、どちらがえらい、とか、どちらが重要、とかいうことはないと思いますが、
なぜ　(※8)に注目をすれば(※7)が自ずと内包されるのか、ということを
私はうまく説明できませんでしたので、補足をお願いします。

(※8)式を使って証明が一見終わりのように見えても、
　　そのとき(※7)も満たしていることも言わなければならない、
ということを私はここで説明したつもりなのですが。

実際に高校生が解くときには、(※7)の方に先に代入して、
　　1/2≦cos((x－y)/2)
から先が行き詰まる可能性もありますよね？

やはり両方に代入して、「重なる範囲」を確かめるしか、方法はないでしょうか？
もっとうまい方法があればご教授願います。

＞NONO__XXさんへ

(x+y)/2から、和積の公式の利用だ！　とピンと来る、
1/2　や　1/√2　という特有の数字から、cos45°をどこかで使うんだろうな　と予想する、

というのがこの問題の２つのポイントです。
でも、
cos45°＝1/√2
を使ったら、1/2≦cos(x+y)/2≦1/√2　が出て来た！　で安心してはいけない、

ということを私は言いたかったのです。

式を書くときには、常に、「全く同じ意味の式（同値）」なのか、必要条件を導いたに過ぎないのか、を意識し続けるようにしてください。
同値記号や、「つまり」「したがって」を使いこなせるようがんばってくださいね！

回答No.2

info222_

>x、yは0°≦y≦90°であり
xの範囲、抜け落ちていませんか？

0°≦ｘ≦90°, 0°≦y≦90°として回答します。

>1/2≦cos(x+y)/2≦1/√2を示せ
cosの角の範囲はどこまでか、分かるように書いてください？

1/2≦cos((x+y)/2)≦1/√2 ?
1/2≦(cos(x+y))/2≦1/√2 ?
どちらですか？

前者として回答します。
1/2≦cos((x+y)/2)≦1/√2 …（★）

[解答]
与条件式に和積公式を適用すると
　1=cos(x)+cos(y)=2cos((x+y)/2)cos((x－y)/2)
　cos((x+y)/2)cos((x－y)/2)=1/2 …(※1)
0°≦ｘ≦90°, 0°≦y≦90°より
0°≦(x+y)/2≦90°, -45°≦(ｘ-y)/2≦45°
　1/√2≦cos((x－y)/2)≦1 …(※2)
(※1), (※2)より　cos((x+y)/2)＞0 なので　（※1）をcos((x+y)/2)で割って
　cos((x－y)/2)=(1/2)/cos((x+y)/2) …(※3)
(※3)を(※2)に代入すると
　1/√2≦(1/2)/cos((x+y)/2)≦1
2倍して
　2/√2≦1/cos((x+y)/2)≦2
辺々、正なので逆数をとると不等号の向きが変わって
　1/√2≧cos((x+y)/2)≧1/2
左辺、右辺入れ替えると不等号の向きも変わるから
　1/2≦cos((x+y)/2)≦1/√2
よって(★)の式が導出された。

回答No.1

QoooL

0°≦y≦90°
じゃなくて　0°≦x,y≦90°
または、
0°≦x≦90°かつ0°≦y≦90°
じゃなかったですか？

ｘについての範囲条件なし？

cosx+cosy　の和積の公式をお礼欄に書いてください。