コンプトン散乱について

質問

下記について、ご教示頂きましたら幸いです。
質問１、
下記の式は偏光を考慮してない式ですが、この式で偏光を考慮すると、具体的にどのような項を追加すれば良いのでしょうか？

Tr{(sl[q]+m)γμu(sl[p]+sl[k]+m)γνu(sl[p]+m)γνd( sl[p]+sl[k]+m)γμd}

注記；この式にこだわる理由は、mathematica　TamarAで計算するには、上記のようにγ行列がそのまま現れるような式で表現しないと計算ができないからです。たとえば、ワインバーグの本の式（８、７、２１）は、スマートですが、TamarAを使用して計算しようとしてもうまくいきませんでした。

質問２、
下記式のy3は、干渉項（クロス項）ですが、干渉項は、単にy３を２倍しただけでよろしいでしょうか？ （複素共役の絡みがあるのでしょうか？）

y1 = e^4/(4(s-m[p]^2)^2)*tr[(sl[k4] + m[p])**gm[up[ν]]**(sl[k2] + sl[k3] + m[p])**gm[up[μ]]**(sl[k2] + m[p])**gm[μ]**(sl[k2] + sl[k3] + m[p])**
gm[ν]];
y2 = e^4/(4(u-m[p]^2)^2)*tr[(sl[k4] + m[p])**gm[up[ν]]**(sl[k2] - sl[k1] + m[p])**gm[up[μ]]**(sl[k2] + m[p])**gm[μ]**(sl[k2] - sl[k1] + m[p])**
gm[ν]];
y3 = e^4/(4(u-m[p]^2)*(s-m[p]^2))*tr[(sl[k4] + m[p])**gm[up[ν]]**(sl[k2] - sl[k1] + m[p])**gm[up[μ]]**(sl[k2] + m[p])**gm[μ]**(sl[k2] + sl[k1] + m[p])**
gm[ν]];

質問３、
εスラッシュは、pスラッシュ等と同様、下記でよろしいでしょうか

回答No.4

grothendieck · ベストアンサー

電子質量を考慮し、光子偏極について平均と和をとった場合の計算は、ランダウ=リフシッツ理論物理学教程「相対論的量子力学１」p.403などにあります。SpはSpur(ドイツ語)の略でTrと同じです。

お礼

いつもお世話になり、ありがとうございます。
本日、ランダウ=リフシッツ理論物理学教程「相対論的量子力学１」を図書館で借りてきました。期待通りの式が載っておりました。計算はまだですが、また、疑問点が生じた場合は、質問させていただきます。
ありがとうございます。今後ともよろしくご指導願います。

補足

いつもお返事ありがとうございます。
＞ランダウ=リフシッツ理論物理学教程「相対論的量子力学１」
近所の市立図書館にはありませんでしたが、少し遠い県立図書館の書庫にはあることを確認しました。
直ぐに行って借りたいのですが、都合により１１月１９日まで行けません。それ以降、お返事致しますので、またよろしくご指導願います。

追伸
No.3の回答に対するお礼の文章を自分で読み返して、「少し失礼な言い方になってしまったかも？」（もちろん、お礼を書くときは感謝の気持ちしかありませんが、、、文章がへたなもので、、、）と後悔し、運営スタッフに削除を申し出たのですが、認められませんでした。
今後も誤解されるような文章を書いてしまうかもしれませんが、どうかお許し願います。

回答No.3

grothendieck

松原 隆彦先生のコンプトン散乱のHPの式(7.7.452)はまだ見ていませんが、少なくとも長島 順清先生のHP１１/１６の１０行目の式はm=0 としているのではないと思います。m^2 に比例する項も書くと、

　 Tr{ (sl[p']+m)sl[ε']sl[ε]sl[k](sl[p]+m)sl[k]sl[ε]sl[ε'] }
　= Tr{ sl[p']sl[ε']sl[ε]sl[k]sl[p]sl[k]sl[ε]sl[ε'] }
　+ Tr{ m sl[ε']sl[ε]sl[k] m sl[k]sl[ε]sl[ε'] }

するとmはγ行列と可換だからTrの外へ出すことができて

　 　= Tr{ sl[p']sl[ε']sl[ε]sl[k]sl[p]sl[k]sl[ε]sl[ε'] }
　+ m^2 Tr{ sl[ε']sl[ε] sl[k]sl[k] sl[ε]sl[ε'] }

第2項でsl[k]が二つ並んでいるところがありますが、

　sl[k]sl[k] = k^2 = 0

よりm^2 に比例する項を０としているのであって、mを０としているわけではありません。そのことは12ページの実験室系の断面積の式を見ても分かります。

お礼

こんにちは、
日置善郎先生著「場の量子論ー摂動計算の基礎ー」(吉岡書店)を本屋で調べてきました。残念ながら、「電子質量・・　考慮、光子の偏極・・考慮」そして、γ行列が下記のようにそのまま現れる形の式ではありませんでした。
Tr{(sl[q]+m)γμu(sl[p]+sl[k]+m)γνu(sl[p]+m)γνd( sl[p]+sl[k]+m)γμd}

コンプトン散乱の計算に関して、再度、各教科書を分類しますと、
１． ワインバーグ「場の量子論」　電子質量・・　考慮、光子の偏極・・考慮、γ行列・・式に無し。
２． 質問No.1680726　No.8参考URL　電子質量・・　考慮、光子の偏極・・考慮、γ行列・・式に無し。
３． エイチスン・ヘイ「ゲージ理論入門」　電子質量・・無視、光子の偏極・・考えない、γ行列・・式に有り。
４． ハルツェン,マーチン「クオークとレプトン」電子質量・・無視、光子の偏極・・考えない、γ行列・・式に有り。
５.日置善郎「場の量子論ー摂動計算の基礎ー」　電子質量・・　考慮、光子の偏極・・考慮、γ行列・・式に無し。
となります。私の求めたいと思っていますのは、「電子質量・・　考慮、光子の偏極・・考えない、γ行列・・式に有り。」で、すなわち、下記(記載した式はT1のみですが）を求めることです。

T1 = tr[(sl[q] + m[p])**gm[up[n]]**(sl[p] + sl[k] + m[p])**gm[up[m]]**(sl[p] + m[p])**gm[m]**(sl[p] + sl[k] + m[p])**gm[n]];
T1 /. sc[k, k] -> 0 /. sc[q, q] -> m[p]^2 /. sc[p, p] -> m[p]^2

では何卒よろしくご指導頂きましたら幸いです。

補足

お返事ありがとうございます。
＞第2項でsl[k]が二つ並んでいるところがありますが、
＞　sl[k]sl[k] = k^2 = 0
＞よりm^2 に比例する項を０としているのであって、mを０としているわけではありません。

わかりました。HP１１/１６の１０行目の式はm=0 とすると、そのまま成立するので、そのように思いましたが違うのですね。トレースの計算は不思議ですね。

すいません。下記につきましてもご教示頂きましたら幸いです。
「電子質量・・考慮、光子の偏極・・考えない」の条件で、matehmaticaのTamarA プログラムを使用して、まず第１項を計算しました。

すると、ワインバーグの式（8.7.33）（光子の偏極・・考慮）とかなり違います。下記のどこが悪いのでしょうか？

プログラム
T1 = tr[(sl[q] + m[p])**gm[up[n]]**(sl[p] + sl[k] + m[p])**gm[up[m]]**(sl[p] + m[p])**gm[m]**(sl[p] + sl[k] + m[p])**
gm[n]];
T1 /. sc[k, k] -> 0 /. sc[q, q] -> m[p]^2 /. sc[p, p] -> m[p]^2

計算結果
64*m[p]^4 + 64*m[p]^2*sc[k, p] - 32*m[p]^2*sc[k, q] + 32*sc[k, p]*sc[k, q] - 32*m[p]^2*sc[p, q]

追伸
日置善郎「場の量子論ー摂動計算の基礎ー」(吉岡書店)
長島順清「素粒子物理学の基礎 I ・II、素粒子標準理論と実験的基礎、高エネルギー物理学の発展」（朝倉書店）のご教示頂きました本は、近くの本屋・図書館にないので、また調べていません。

回答No.2

grothendieck

摂動計算をするとき参考になるのは
　日置善郎「場の量子論ー摂動計算の基礎ー」(吉岡書店)
　　正誤表　http://www.ias.tokushima-u.ac.jp/physics/theor/members/hioki-jp.html
が良いかもしれません。
　長島順清「素粒子物理学の基礎 I ・II、素粒子標準理論と実験的基礎、高エネルギー物理学の発展」（朝倉書店）
も推薦できる本です。また
　W. Greiner, J. Reinhardt ; Quantum Electrodynamics (Springer)
も読みやすそうです。

補足

お返事ありがとうございます。

＞長島順清「素粒子物理学の基礎 I ・II、素粒子標準理論と実験的基礎、高エネルギー物理学の発展」（朝倉書店）も推薦できる本です。

長島 順清先生のHPを見つけました。下記です。
この１１/１６の１０行目の式と
http://osksn2.hep.sci.osaka-u.ac.jp/~naga/works/solutions1-7/solutions1-7.pdf

以前にご教示頂きました松原 隆彦先生のコンプトン散乱のHPの式(7.7.452)

は、両者とも、電子の静止質量　ｍとμを、この式で“０”としている（すなわち　電子質量を無視）ように思えるのですが、如何でしょうか？

回答No.1

grothendieck

光子の偏極を入れると偏極を入れない場合に比べて計算、実験ともかなり面倒になります。ワインバーグの(8.7.21)式より
　直接過程
　(4/(s-m^2)^2) Tr{sl[ε'*](sl[p]+sl[k]+m)sl[ε](sl[p]+m)sl[ε*]( sl[p]+sl[k]+m)sl[ε'](sl[q]+m)}

　クロス項
　(4/(s-m^2)(u-m^2)) [Tr{sl[ε'*](sl[p]+sl[k]+m)sl[ε](sl[p]+m)sl[ε']( sl[p]-sl[k']+m)sl[ε*](sl[q]+m)} +
Tr{sl[ε](sl[p]-sl[k']+m)sl[ε'*](sl[p]+m)sl[ε*]( sl[p]+sl[k]+m)sl[ε'](sl[p]+m)} ]

ここで偏極に付いて和と平均を取る場合は
　ε'*μ ε'ν → Σε'*μ ε'ν
　ε*μ εν → (1/2)Σε*μ εν
とします。さらにトレースの中では実光子の場合、
　Σε'*μ ε'ν → - gμν
　(1/2)Σε*μ εν → ( -1/2)gμν
として良いのです(長島順清「素粒子物理学の基礎 I 」p.115 )
すると
　クロス項
　(4/(s-m^2)(u-m^2)) [Tr{γμ(sl[p]+sl[k]+m)γν(sl[p]+m)γμ( sl[p]-sl[k']+m)γν(sl[q]+m)} +
Tr{γν(sl[p]-sl[k']+m)γμ(sl[p]+m)γν( sl[p]+sl[k]+m)γμ(sl[p]+m)} ]

となるので結局 y3 を2倍すれば良いことが分かります。偏極を入れた場合も単に2倍すれば良いことはワインバーグの(8.7.34)式と(8.7.37)式から分かります。ベクトルは反変成分を使うことに統一しているなら、εスラッシュもpスラッシュ等と同様に定義すれば良いはずです。

補足

お返事ありがとうございます。
＞光子の偏極を入れると偏極を入れない場合に比べて計算、実験ともかなり面倒になります。

やはりそうですか。私の目標は、質量を無視しないで、電子と光子とのコンプトン散乱断面積を計算し、実験結果と比較することです。従いまして、光子の偏極は無視したいのですが、教科書に、その結果を導く手順が記載されていないので、廻り道になりますが、光子の偏極を考慮した後、平均し和をとろうと思いました。そして最終的に、参考URL　の式（７．７．４８５）を導こうと思いました。しかし、計算も実験も難しいのですね。

私の知る限り、電子と光子とのコンプトン散乱断面積を求める手順を記載した本等は、
１． ワインバーグ「場の量子論」　電子質量・・　考慮、光子の偏極・・考慮
２． 質問No.1680726　No.8参考URL　電子質量・・　考慮、光子の偏極・・考慮
３． エイチスン・ヘイ「ゲージ理論入門」　電子質量・・無視、光子の偏極・・考えない
４． 「クオークとレプトン」電子質量・・無視、光子の偏極・・考えない
となっております。
コロコロと、方針を変更して申し訳ございませんが、やはり、「電子質量・・考慮、光子の偏極・・考えない」場合で計算しようと思います。
電子と光子とのコンプトン散乱断面積を求める手順を示した本で、「電子質量・・考慮、光子の偏極・・考えない」を記載した本はないでしょうか？

＞結局 y3 を2倍すれば良いことが分かります。偏極を入れた場合も単に2倍すれば良いことはワインバーグの(8.7.34)式と(8.7.37)式から分かります。ベクトルは反変成分を使うことに統一しているなら、εスラッシュもpスラッシュ等と同様に定義すれば良いはずです。

これを元に、mathematicaを使用して計算してみます。
計算結果は、「電子質量・・考慮、光子の偏極・・考えない」場合、参考URL　の式（７．７．４８５）が導かれれば　OKなのですね。