光と電子のコンプトン散乱と同程度の計算について

質問

こんにちは、
光と電子のコンプトン散乱の計算について教えて頂きましたが、その際、mathematicaでプログラムを作成したので、せっかくなので同程度の計算を他にも試してみたいのですが、何かないでしょうか？
形としましては、
Tr{(sl[q]+m)γμu(sl[p]+sl[k]+m)γνu(sl[p]+m)γνd( sl[p]+sl[k]+m)γμd}
程度の計算で、この式のようにγ行列が、そのまま式に現れていて、偏光を考慮したり、繰り込みとかの、ややこしい計算を含まない単純なものが有り難いです。
また、コンプトン散乱の計算のように、計算値と実験値が直ぐに比較できるものがベストです。
どの本を、どこを見たら参考になるかをご教示頂きましたら幸いです。
いろいろと贅沢を申しますが、よろしくお願いいたします。

回答No.17

grothendieck · ベストアンサー

Aμν Bνμを展開したものは下の回答の通りですが、
A00 B00 + A10 B01 + A20 B02 + A30 B03
　+ A01 B10 + …

を’実際に’計算することはお勧めしません。電子のカレントからのテンソルは

　A1 gμν + A2 pμ qν + A3 qμ pν

という形をしています。ここでA1, A2, A3はスカラーです。同様にニュートリノの方からの

　B1 gμν + B2 kμ jν + B3 jμ kν

と縮約すると

　gμνgμν = 4
gμνkμjν = gμνjμkν = (k,j)
pμqνkμjν = qμpνjμkν = (p,k)(q,j)

等によってスカラーが出てきます。α, βをスカラーとしたとき、テンソルの縮約について
　Aμν (αBνμ + βCμν)
= αAμνBνμ + βAμνCμν

が成り立つので積は * で計算しても良いのです。その後で、
　g[μν]vec[p,μ]vec[qν] → sc[p,q]

等とすれば良いのです。

お礼

お世話になります。

考えてみましたら、gμνやベクトルをわざわざ使用するので、計算がややこしくなるので、最初から　スカラーのみを使用すれば良いのではないでしょうか？

下記プログラムは、スカラーのみ使用して計算したものです。（Tamar Aは使用しておりません。）
答えは、

8*CL2*CR2*(-(j0*k0) + j1*k1 + j2*k2 - j3*k3)*(CL1^2*m^2 + CR1^2*m^2 -
2*CL1*CR1*(p0*q0 - p1*q1 - p2*q2 + p3*q3))

です。如何でしょうか？

プログラム

gu[0] = {{1, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 0}, {0, 0, -1, 0}, {0, 0, 0, -1}};
gu[1] = {{0, 0, 0, 1}, {0, 0, 1, 0}, {0, -1, 0, 0}, {-1, 0, 0, 0}};
gu[2] = {{0, 0, 0, -I}, {0, 0, I, 0}, {0, I, 0, 0}, {-I, 0, 0, 0}};
gu[3] = {{0, 0, 1, 0}, {0, 0, 0, -1}, {-1, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 0}};
e4 = IdentityMatrix[4];
gm[0] = 1*gu[0];
gm[1] = -gu[1];
gm[2] = -gu[2];
gm[3] = -gu[3];
gu[5] = I*gu[0] . gu[1] . gu[2] . gu[3];
gm[5] = -gu[5];
m[p] = m*e4;
sl[q] = gu[0]*q0 + gu[1]*(-q1) + gu[2]*(-q2) + gu[3]*(-q3);
sl[p] = gu[0]*p0 + gu[1]*(-p1) + gu[2]*(-p2) + gu[3]*(-p3);
sl[k] = gu[0]*k0 + gu[1]*(-k1) + gu[2]*(-k2) + gu[3]*(-k3);
sl[j] = gu[0]*j0 + gu[1]*(-j1) + gu[2]*(-j2) + gu[3]*(-j3);
st1 = 0; y1 = 0; st2 = 0; y2 = 0; st3 = 0; y3 = 0;
For[x = 0, x <= 3, x++,
For[y = 0, y <= 3, y++,
y1 = Tr[(sl[p] + m[p]) . ((CL1/2)*(e4 - gm[5]) + (CR1/2)*(e4 + gm[5])) .
gm[y] . (sl[q] + m[p]) . gm[x] . ((CL1/2)*(e4 - gm[5]) +
(CR1/2)*(e4 + gm[5]))];
y2 = Tr[sl[k] . ((CL2/2)*(e4 - gm[5]) + (CR2/2)*(e4 + gm[5])) . gm[y] .
sl[j] . gm[x] . ((CL2/2)*(e4 - gm[5]) + (CR2/2)*(e4 + gm[5]))];
y3 = y1*y2; ]];
f1 = FullSimplify[y3]

補足

毎々、懇切丁寧なご回答をいただきありがとうございます。

＞が成り立つので積は * で計算しても良いのです。その後で、
＞　g[μν]vec[p,μ]vec[qν] → sc[p,q]
＞等とすれば良いのです。

つまり、下記の通り計算してもよろしいのでしょうか。
式
y1 = tr[(sl[p] + m[p])**((CL1/2)*(1 - gm[5]) + (CR1/2)*(1 + gm[5]))**gm[n]**(sl[q] + m[p])**gm[m]**
((CL1/2)*(1 - gm[5]) + (CR1/2)*(1 + gm[5]))];
y2 = tr[sl[k]**((CL2/2)*(1 - gm[5]) + (CR2/2)*(1 + gm[5]))**gm[n]**sl[j]**gm[m]**((CL2/2)*(1 - gm[5]) + (CR2/2)*(1 + gm[5]))];
y3 = y1*y2;
FullSimplify[ExpandAll[y3]]

答え
-8*CL2*CR2*(g[m, n]*sc[j, k] - vec[j, n]*vec[k, m] - vec[j, m]*vec[k, n])*(g[m, n]*((CL1^2 + CR1^2)*m[p]^2 - 2*CL1*CR1*sc[p, q]) +
2*CL1*CR1*(vec[p, n]*vec[q, m] + vec[p, m]*vec[q, n]))

この答えを
gμνgμν = 4
gμνkμjν = gμνjμkν = (k, j)
pμqνkμjν = qμpνjμkν = (p, k)(q, j)
g[μ, ν]vec[p, μ]vec[q, ν] → sc[p, q]
等の規則に従ってスカラーに直せば解が得られるのでしょうか。

下記は、μ→m, ν→n としました。
g[m, n]g[m, n] = 4
g[m, n]vec[k, m]vec[j, n] → g[m, n]vec[j, m]vec[k, n] → sc[k, j]
vec[p, m]vec[q, n]vec[k, m]vec[j, n] → sc[p, k]*sc[q, j]
g[m, n]vec[p, m]vec[q, n] → sc[p, q]

そうしますと、

y1 = -8*CL2*CR2*(g[m, n]*sc[j, k] - vec[j, n]*vec[k, m] - vec[j, m]*vec[k, n])*
(g[m, n]*((CL1^2 + CR1^2)*m[p]^2 - 2*CL1*CR1*sc[p, q]) + 2*CL1*CR1*(vec[p, n]*vec[q, m] + vec[p, m]*vec[q, n]));

y2 = ExpandAll[y1] /. vec[j, n]*vec[k, m] -> sc[j, k] /. vec[j, m]*vec[k, m] -> sc[j, k] /. g[m, n]*vec[j, m]*vec[k, n] ->
sc[k, j] /. g[m, n]*vec[k, m]*vec[j, n] -> sc[k, j] /. g[m, n]^2 -> 4 /. vec[p, m]*vec[q, n]*vec[k, m]*vec[j, n] ->
sc[p, k]*sc[q, j] /. vec[j, m]*vec[k, n]*vec[p, m]*vec[q, n] -> sc[j, p]*sc[k, q] /.
g[m, n]*vec[p, m]*vec[q, n] -> sc[p, q] /. vec[j, m]*vec[k, n]*vec[p, n]*vec[q, m] -> sc[j, p]*sc[k, q] /.
g[m, n]*vec[p, n]*vec[q, m] -> sc[p, q];
FullSimplify[ExpandAll[y2]]

答え
8*CL2*CR2*((CL1^2 + CR1^2)*m[p]^2*((-4 + g[m, n])*sc[j, k] + sc[k, j]) +
2*CL1*CR1*(2*sc[j, p]*sc[k, q] - sc[k, j]*sc[p, q] + sc[j, k]*((-(-2 + g[m, n]))*sc[p, q] + vec[p, n]*vec[q, m] +
vec[p, m]*vec[q, n])))

というような式の置き換えをして求めればよいのでしょうか？
（まだ最後まで上手く置き換えが出来ておりません。しかし、g[m, n]が最後まで残ってしまいそうです。計算は再度やりますが、やり方はこれでOKなのでしょうか？）

回答No.18

grothendieck

あなたのやっていることは、まさに私が「お勧めしません。」と書いていることです。私はこれ以上つきあいきれませんので他の人に回答してもらって下さい。

補足

毎々お世話になります。
申し訳ございません。再度、No.17のコメントを読み直して考え直します。

回答No.16

grothendieck

縮約する添字が２組あるとき、例えば
　Aμν Bνμ
はAのμとBのμを等しいとして0から3までの値を取り、AのνとBのνも等しいとして0から3までの値を取ります。つまり全部書くと
　Aμν Bνμ
=A00 B00 + A10 B01 + A20 B02 + A30 B03
+ A01 B10 + A11 B11 + A21 B12 + A31 B13
+ A02 B20 + A12 B21 + A22 B22 + A32 B23
+ A03 B30 + A13 B31 + A23 B32 + A33 B33
です。
　(A00+A10+A20+A30+A01+A11+A21+A31+A02+A12+A22+A32+A03+A13+A23+A33 ) ×(B00+B10+B20+B30+B01+B11+B21+B31+B02+B12+B22+B32+B03+B13+B23+B33 )

とかしたのではローレンツ不変になりません。vec[p, μ]は粒子のエネルギーをE、３次元運動量をPとしたとき
　vec[p, 0] = E
　vec[p, i] = Pi　(i=1,2,3)
です。このようなことは相対論の入門的教科書を見て頂きたいと思います。

補足

毎々、お世話になります。

テンソル積につきまして、懇切丁寧なご説明して頂きましてありがとうございます。
少々混乱してきましたので、ここで今までの結果を纏めますと、

Σ<i| je*[ρ]|f><f| je[μ]|i><i| jν*[ρ]|f><f| jν[μ]|i>を求めようとしておりますが、

Σ<i| je*[ρ]|f><f| je[μ]|i>の部分（電子のカレントからの行列要素）は、
tr[(sl[p] + m[p])**((CL1/2)*(1 - gm[5]) + (CR1/2)*(1 + gm[5]))**gm[n]**(sl[q] + m[p])**gm[m]**
((CL1/2)*(1 - gm[5]) + (CR1/2)*(1 + gm[5]))];　　式１

であり、残りのΣ<i| jν*[ρ]|f><f| jν[μ]|i>の部分（ニュートリノのカレントからの行列要素）は、
tr[sl[k]**((CL2/2)*(1 - gm[5]) + (CR2/2)*(1 + gm[5]))**gm[n]**sl[j]**gm[m]**((CL2/2)*(1 - gm[5]) + (CR2/2)*(1 + gm[5]))];　　　式２
です。

Σ<i| je*[ρ]|f><f| je[μ]|i>の部分の計算結果は、
2*(g[m, n]*((CL1^2 + CR1^2)*m[p]^2 - 2*CL1*CR1*sc[p, q]) + 2*CL1*CR1*(vec[p, n]*vec[q, m] + vec[p, m]*vec[q, n]))　　答え１

で、残りのΣ<i| jν*[ρ]|f><f| jν[μ]|i>の部分の計算結果は、
4*CL2*CR2*((-g[m, n])*sc[j, k] + vec[j, n]*vec[k, m] + vec[j, m]*vec[k, n])　答え２　です。

今の問題点は、式１と式２を「かける」必要があるのですが、ただの積では駄目であり、
Aμν Bνμ
=A00 B00 + A10 B01 + A20 B02 + A30 B03
+ A01 B10 + A11 B11 + A21 B12 + A31 B13
+ A02 B20 + A12 B21 + A22 B22 + A32 B23
+ A03 B30 + A13 B31 + A23 B32 + A33 B33
のようにテンソルとしての積を求める必要がある。

そうしますと、式１と式２の添え字は、mとｎなので、これについて0から3までの値を取り、上記のAμν Bνμのように計算すればよいのですね？

＞vec[p, μ]は粒子のエネルギーをE、３次元運動量をPとしたとき
＞　vec[p, 0] = E
＞　vec[p, i] = Pi　(i=1,2,3)

了解しました。

回答No.15

grothendieck

ニュートリノの散乱前後の４次元運動量をk, j 、質量を0とすると、ニュートリノのカレントからの行列要素は
y2 = tr[sl[k]**((CL2/2)*(1 - gm[5]) + (CR2/2)*(1 + gm[5]))**gm[n]**sl[j]**gm[m]**((CL2/2)*(1 - gm[5]) + (CR2/2)*(1 + gm[5]))];

としなければなりません。また「かける」と言うのは、テンソルとしての積です。つまり

Σ<i| je*[ρ]|f><f| je[μ]|i><i| jν*[ρ]|f><f| jν[μ]|i>

で「アインシュタインの規約」が使われ、μ,ρについて0から3まで和をとっているので*や**ではなく、そのようなテンソルの計算をしなければなりません。TamarAやMathematicaでテンソルがどの様に扱われるのか私は知りません。CL1 -> -2^(-1) + Sin[q]^2 というのは？です。

補足

毎々お返事ありがとうございます。ご親切なお返事ありがとうございます。

＞ニュートリノのカレントからの行列要素は
了解しました。

＞「アインシュタインの規約」が使われ、μ,ρについて0から3まで和をとっているので*や**ではなく、そのようなテンソルの計算をしなければなりません。
そうなんですか。やっと計算の概要がわかりました。

＞TamarAやMathematicaでテンソルがどの様に扱われるのか私は知りません。
TamarAでのテンソルの計算は私もわかりませんので、通常のMathematicaでプログラム
を作って計算したいと思います。

まず電子のカレントからの行列要素　y1 から計算したいと思います。
g[μ, ν]は、μ=ν=0, μ=ν=1, μ=ν=2, μ=ν=3, 以外は”0”なので、この4通りの場合のみ
を求めて、それらを合計すれば答えが得られるはずですが、例えばμ=ν=0のとき、g[μ, ν]は-1ですが、vec[p, μ]やvec[q, μ]などは、どのような値になるのでしょうか？
（基本的な質問で恐縮でございますが、これがわからないと計算できませんのでご教示頂きましたら幸いです。）

（電子のカレントからの行列要素　y1）

2*CL^2*g[μ, ν]*m[p]^2 + 2*CR^2*g[μ, ν]*m[p]^2 -4*CL*CR*g[μ, ν]*sc[p, q] + 4*CL*CR*vec[p, ν]*vec[q, μ] + 4*CL*CR*vec[p, μ]*vec[q, ν]

すいません。更に基本的な質問ですが、上記のように電子のカレントからの行列要素とニュートリノのカレントからの行列要素について、別々にμ,ρについて0から3まで和をとって計算して後で、掛け合わせてもＯＫなのでしょうか？それとも電子とニュートリノのカレントからの行列要素について、同時にμ,ρについて0から3まで和をとって計算しないと駄目なのでしょうか？

回答No.14

grothendieck

奇数個の γ行列の積のトレースは0なので

Tr{(sl[p]+m)(CL/2(1-γ5)+CR/2(1+γ5))γν (sl[q]+m) γμ (CL/2(1-γ5)+CR/2(1+γ5)) }

のうちmに比例する項は消えます。m^2 に比例する項は

Tr{(CL/2(1-γ5)+CR/2(1+γ5))γν γμ (CL/2(1-γ5)+CR/2(1+γ5)) }

ここでTr{γ5 γμ γν} = 0　を使うと
= (CL+CR)^2/4 Tr{γν γμ} + (CR - CL)^2/4 Tr{γ5γν γμ γ5}
ここで{γ5, γμ} = 0, γ5^2 = 1 を使うと
= (CL+CR)^2/4 Tr{γν γμ} + (CR - CL)^2/4 Tr{γν γμ}
= (CL^2 + CR^2)/2 Tr{γν γμ}
= 2(CL^2 + CR^2) gνμ

またmがかからない項は
Tr{sl[p](CL/2(1-γ5)+CR/2(1+γ5))γν sl[q] γμ (CL/2(1-γ5)+CR/2(1+γ5)) }
これも同様に計算すると
= CL CR Tr{sl[p]γν sl[q] γμ }
ここで
Tr{γν γμ γρ γσ}
=4(gνμ gρσ - gνρ gμσ + gνσ gμρ)
という公式を使うと
　Tr{sl[p]γν sl[q] γμ }=4pν qμ - 4(p,q) gνμ + 4qν pμ

したがってTamarAで正しく計算されていることが分かります。ニュートリノのカレントからの行列要素も同じ形になります（ただしCL, CRの値が異なる）。あとはこれらをかけ合わせると振幅の二乗が求まり、エイチスンの(10.94)式に代入して断面積になります。

補足

毎々お世話になります。いつもご親切なお返事ありがとうございます。
＞したがってTamarAで正しく計算されていることが分かります。
了解しました。
＞ニュートリノのカレントからの行列要素も同じ形になります（ただしCL, CRの値が異なる）。あとはこれらをかけ合わせると振幅の二乗が求まり、エイチスンの(10.94)式に代入して断面積になります。

下記は、振幅の二乗を計算したものです。
まず、y1は電子のカレントからの行列要素、y２はニュートリノのカレントからの行列要素、ｙ３はこれらをかけ合わせたもの、ｙ４はｙ３にCL, CRの値を代入したものです。

ｙ１とｙ２の計算結果に、g[m, n]、 sc[p, q]、vec[p, n]が残っているのは（前回のご回答より）問題ないと思うのですが、ｙ３とｙ４の計算結果にもg[m, n]、 sc[p, q]、vec[p, n]が残っているのは、問題があると思うのですが、どこの部分が間違っているのでしょうか？
このままですと、エイチスンの(10.94)式に代入してもg[m, n]、 sc[p, q]、vec[p, n]が残ってしまうからです。

式
y1 = tr[(sl[p] + m[p])**((CL1/2)*(1 - gm[5]) + (CR1/2)*(1 + gm[5]))**gm[n]**(sl[q] + m[p])**gm[m]**
((CL1/2)*(1 - gm[5]) + (CR1/2)*(1 + gm[5]))];
y2 = tr[(sl[p] + m[p])**((CL2/2)*(1 - gm[5]) + (CR2/2)*(1 + gm[5]))**gm[n]**(sl[q] + m[p])**gm[m]**
((CL2/2)*(1 - gm[5]) + (CR2/2)*(1 + gm[5]))];
FullSimplify[y1]
FullSimplify[y2]
y3 = ExpandAll[y1*y2];
Print[FullSimplify[y3]];
y4 = FullSimplify[y3] /. CL1 -> -2^(-1) + Sin[q]^2 /. CR1 -> Sin[q]^2 /. CL2 -> -2^(-1) /. CR2 -> 0;
Print[FullSimplify[y4]];

計算結果
2*(g[m, n]*((CL1^2 + CR1^2)*m[p]^2 - 2*CL1*CR1*sc[p, q]) + 2*CL1*CR1*(vec[p, n]*vec[q, m] + vec[p, m]*vec[q, n]))

2*(g[m, n]*((CL2^2 + CR2^2)*m[p]^2 - 2*CL2*CR2*sc[p, q]) + 2*CL2*CR2*(vec[p, n]*vec[q, m] + vec[p, m]*vec[q, n]))

4*(g[m, n]*((CL1^2 + CR1^2)*m[p]^2 - 2*CL1*CR1*sc[p, q]) + 2*CL1*CR1*(vec[p, n]*vec[q, m] + vec[p, m]*vec[q, n]))*
(g[m, n]*((CL2^2 + CR2^2)*m[p]^2 - 2*CL2*CR2*sc[p, q]) + 2*CL2*CR2*(vec[p, n]*vec[q, m] + vec[p, m]*vec[q, n]))

(1/4)*g[m, n]*m[p]^2*(g[m, n]*((2 - 2*Cos[2*q] + Cos[4*q])*m[p]^2 + 4*Cos[2*q]*sc[p, q]*Sin[q]^2) -
4*Cos[2*q]*Sin[q]^2*(vec[p, n]*vec[q, m] + vec[p, m]*vec[q, n]))

また、ｙ３の掛け算の部分を
y3 = ExpandAll[y1**y2];
としますと、

lg[2*(g[m, n]*((CL1^2 + CR1^2)*m[p]^2 - 2*CL1*CR1*sc[p, q]) + 2*CL1*CR1*(vec[p, n]*vec[q, m] + vec[p, m]*vec[q, n])),
2*(g[m, n]*((CL2^2 + CR2^2)*m[p]^2 - 2*CL2*CR2*sc[p, q]) + 2*CL2*CR2*(vec[p, n]*vec[q, m] + vec[p, m]*vec[q, n]))]

lg[(1/2)*(g[m, n]*((2 - 2*Cos[2*q] + Cos[4*q])*m[p]^2 + 4*Cos[2*q]*sc[p, q]*Sin[q]^2) -
4*Cos[2*q]*Sin[q]^2*(vec[p, n]*vec[q, m] + vec[p, m]*vec[q, n])), (1/2)*g[m, n]*m[p]^2]

となり、この場合も駄目です。

回答No.13

grothendieck

他の計算では、(1-gm[5])としているのであれば、多分単位行列は 1 でいいのだと思います。

tr[gm[5]**gm[m]**gm[n]**gm[d]**gm[s]]

が計算できたら

tr[sl[p]**gm[5]**gm[ν]**sl[q]**gm[μ ]]
tr[sl[p]**(1-gm[5])**gm[ν]**sl[q]**gm[μ ]]
tr[sl[p]**(CL/2*(1-gm[5]))**gm[ν]**sl[q]**gm[μ ]]

を順に計算し、どの段階でできなくなっているのかを突き止めると良いでしょう。もしかしたらCL/2*(1-gm[5])のところを
CL/2**(1-gm[5]) とする必要があるのかもしれません。

補足

毎々、お世話になります。

ご教示頂いたことを実行しました。すると、
式
y = tr[(sl[p] + m[p]) ** (CL/2*(1 - gm[5]) + CR/2*(1 + gm[5])) **gm[ν] ** (sl[q] + m[p]) ** gm[μ ] ** (CL/2*(1 - gm[5]) + CR/2*(1 + gm[5]))]

FullSimplify[ExpandAll[y]]

答え
2*CL^2*g[μ, ν]*m[p]^2 + 2*CR^2*g[μ, ν]*m[p]^2 -4*CL*CR*g[μ, ν]*sc[p, q] + 4*CL*CR*vec[p, ν*vec[q, μ] + 4*CL*CR*vec[p, μ]*vec[q, ν]

となりました。もしこれが正しいとすると、下記の通り、式の一部が＊＊ではなく＊となっていたことです。（非常に申し訳ございませんでした。）

y1=tr[(sl[p]+m[p])**(CL/2*(1-gm[5])+CR/2*(1+gm[5]))**gm[ν]**(sl[q]+m[p])**gm[μ ]*（ここに“*”が無い）(CL/2*(1-gm[5])+CR/2*(1+gm[5]))];
FullSimplify[ExpandAll[y1]]

もし、この計算結果が正しいとしますと、sc[p, q]は、前回も出ましたのでわかるのですが、g[μ, ν]とvec[p, ν]の意味がよくわかりません。もしかして、g[μ, ν]は、ηυν(クロネッカ-のデルタ)を一般相対性理論に拡大したｇυν,vec[p, ν]はベクトルの意味なのでしょうか？仮にそれで正しいとしても、どのように取り扱ったらよいか。わかりません。

回答No.12

grothendieck

Σjν* jμ = Tr{(sl[p]+m)(CL/2(1-γ5)+CR/2(1+γ5))γν (sl[p']+m) γμ (CL/2(1-γ5)+CR/2(1+γ5)) }

の計算だけでは断面積(14.115)にはなりません。当面レプトン質量を無視することにすると断面積はエイチスンの(10.94)で与えられます。ここで振幅Fは摂動の最低次では相互作用項を散乱前後の状態で挟んだものであり、相互作用は(14.102)で与えられます。電子のカレントをje[μ]、ニュートリノのカレントをjν[μ]と書くことにすれば、(14.102)のなかで電子ニュートリノ散乱を起こす部分は

　(定数)× je[μ] jν[μ]

になります。従ってこれを散乱前の状態|i〉と散乱後の状態|f〉で挟んで絶対値の二乗をとり、偏極について和と平均をとると

　(定数)^2×Σ<i| je*[ρ]|f><f| je[μ]|i><i| jν*[ρ]|f><f| jν[μ]|i>

となります。前の回答はこのうちのΣ<i| je*[ρ]|f><f| je[μ]|i>の部分だけを書いたものです。 je*からCRやCLの共役が出てきます。しかしCRやCLは実数なので共役の記号は省いて良いでしょう。TamarAの計算結果を見るとγ5がそのまま残っています。つまりγ5のトレースが計算されていません。TamarAではγ5のトレースが計算できるようになっていないとは思えないので、γ5は何か別の表し方をする必要があるのではないでしょうか。前にも書きましたが、まず
　Tr{γ5 γμ γν} = 0
　Tr{γ5 γμ γν γρ γσ} = 4i ε μνρσ

などが計算できるかを確認することから始めた方が良いかもしれません。

お礼

毎々、お世話になっております。

まず、Tr{γ5 γμ γν} = 0
　Tr{γ5 γμ γν γρ γσ} = 4i ε μνρσ

を確認してみました。

γ5を、gm[5]として計算すると、

tr[gm[5]**gm[m]**gm[n]]
tr[gm[5]**gm[m]**gm[n]**gm[d]**gm[s]]

0
(4*I)*eps[d, m, n, s]

となり、計算できました。

しかし、γ5を、γ5として計算すると、
tr[γ5**gm[μ]**gm[ν]]
tr[γ5**gm[μ]**gm[ν]**gm[δ]**gm[σ]]

4*γ5*g[μ, ν]
4*γ5*g[δ, σ]*g[μ, ν] + 4*γ5*g[δ, ν]*g[μ, σ] - 4*γ5*g[δ, μ]*g[ν, σ]

となり、計算できませんでした。

次に、γ5を、gm[5]として下記を計算しました。
y1=tr[(sl[p]+m[p])**(CL/2*(1-gm[5])+CR/2*(1+gm[5]))**gm[ν]**(sl[q]+m[p])**
gm[μ ]*(CL/2*(1-gm[5])+CR/2*(1+gm[5]))];
FullSimplify[ExpandAll[y1]]

すると、

HoldForm[(ExpandAll[#1, Trig -> False, Modulus -> 0] & )[tr[((1/2)*CL*(1 - gm[5]) + (1/2)*CR*(1 + gm[5]))*
lg[gm[v4[p]] + m[p], (1/2)*CL*(1 - gm[5]) + (1/2)*CR*(1 + gm[5]), gm[n], gm[v4[q]] + m[p], gm[m]]]]]

となり、やはり計算できませんでした。多分、原因は、(1-gm[5])の“１”が、ただの“１”になっているのだと思います。この“１”を、４×４の単位行列にすれば、計算できるかもしれません。しかし、Tamar A で４×４の単位行列をどのように表現すればよいのか、わかりません。Tamar A Guide を読んでもよくわかりません。Tamar A Guide を見ますと、他の計算では、(1-gm[5])として計算しているようです。何か良い方法は無いでしょうか？

補足

毎々お世話になります。いつもご親切なお返事ありがとうございます。

了解致しました。計算してみますので、少しお時間を頂きましたら幸いです。

回答No.11

grothendieck

湯川は相互作用の到達距離は力を媒介する粒子の質量に逆比例することを示しました。したがってゲージボゾンの質量が大きいと見なせるときは相互作用は一点で起るように見え、エイチスン=ヘイの(14.102)式になります。ここでθwはワインバーグ角です。例えばνμ＋e-→νμ＋e-の過程はエイチスン=ヘイの図14.1になるので(14.102)のカレントのうち一つはu(f)をニュートリノのスピノール、もう一つは電子のスピノールとします。ニュートリノの方は簡単なので省略して電子の方を書くと、CL, CRは(14.96)式(a=sin^2 θw)で与えられます。断面積を求めるために振幅の絶対値を二乗すると電子のカレントの方からは

　Σjν* jμ = Tr{(sl[p]+m)(CL/2(1-γ5)+CR/2(1+γ5))γν (sl[p']+m) γμ (CL/2(1-γ5)+CR/2(1+γ5)) }

となります。ここでpとp' は散乱前後の電子の運動量です。あとはγ５が入っていることを除けば量子電気力学の場合と同じ様に計算されます。

補足

毎々お世話になります。いつもご親切なお返事ありがとうございます。

Σjν* jμ = Tr{(sl[p]+m)(CL/2(1-γ5)+CR/2(1+γ5))γν (sl[p']+m) γμ (CL/2(1-γ5)+CR/2(1+γ5)) }

を計算しました。下記は計算結果です。

この式は、エイチスン=ヘイの図14.1（左図）の計算をしており、式（１４．１１５）が得られると考えてよいのでしょうか？

CLとCRは、式（１４．１１５）を見ますとそのまま現れておりますので、(14.96)式に置き換えておりません。ニュートリノと電子で、それぞれCLとCRが異なりますが、異なる式を使用して別々に計算する必要があるのでしょうか？

式（１４．１１５）のCLとCRには、星印のついたものがありますが、どこから得られたのでしょうか？

エイチスン=ヘイの本を数回読んでも、どうしたらよいか見当がつきません。まず下記の計算結果に問題があるのか？ご教示頂きましたら幸いです。

計算結果
プログラム
gu[0] = {{1, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 0}, {0, 0, -1, 0}, {0, 0, 0, -1}};
gu[1] = {{0, 0, 0, 1}, {0, 0, 1, 0}, {0, -1, 0, 0}, {-1, 0, 0, 0}};
gu[2] = {{0, 0, 0, -I}, {0, 0, I, 0}, {0, I, 0, 0}, {-I, 0, 0, 0}};
gu[3] = {{0, 0, 1, 0}, {0, 0, 0, -1}, {-1, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 0}};
e4 = IdentityMatrix[4];
gd[0] = 1*gu[0];
gd[1] = -1*gu[1];
gd[2] = -1*gu[2];
gd[3] = -1*gu[3];
gu[5] = I*gu[0].gu[1].gu[2].gu[3];
gd[5] = -1*gu[5];
m1 = .;
m2 = .;
sl[q] = gu[0]*q0 + gu[1]*(-q1) + gu[2]*(-q2) + gu[3]*(-q3);
sl[p] = gu[0]*p0 + gu[1]*(-p1) + gu[2]*(-p2) + gu[3]*(-p3);
sl[k] = gu[0]*k0 + gu[1]*(-k1) + gu[2]*(-k2) + gu[3]*(-k3);
sl[j] = gu[0]*j0 + gu[1]*(-j1) + gu[2]*(-j2) + gu[3]*(-j3);
m1= m*e4;
st = 0;
y1 = 0;
For[x = 0, x <= 3, x++,
For[y = 0, y <= 3, y++,
CL=.;
CR=.;
(*この部分が、対象の式です。*)
st=Tr[(sl[p]+m1).(CL/2*(e4-gd[5])+CR/2*(e4+gd[5])).gd[x].(sl[q]+ m1).gd[y].(CL/2*(e4-gd[5])+CR/2*(e4+gd[5]))];

y1 = y1 + st;
]];
f = ExpandAll[y1];
Print[FullSimplify[f]];

結果
-4*(CL^2*m^2 + CR^2*m^2 + 2*CL*CR*(p1*q0 + p2*q0 + p3*q0 - p2*q1 - p3*q1 - p1*q2 - p3*q2 - (p1 + p2)*q3 + p0*(-2*q0 + q1 + q2 + q3)))

Tamar Aでの計算結果
プログラム
y = tr[(sl[p] + m[p]) ** (CL/2*(1 - γ5) + CR/2*(1 + γ5)) **
gm[ν] ** (sl[q] + m[p]) **
gm[μ ] ** (CL/2*(1 - γ5) + CR/2*(1 + γ5))]

結果

(CL*(-1 + γ5) - CR*(1 + γ5))^2*(g[μ, ν]*(m[p]^2 - sc[p, q]) + vec[p, ν]*vec[q, μ] + vec[p, μ]*vec[q, ν])

回答No.10

grothendieck

エイチスン=ヘイの(10.94)式はすでにレプトン質量を無視した場合の式です。レプトン質量を無視した場合としなかった場合の断面積は同じにはなりません。

お礼

毎々お世話になります。
中性カレントの計算に関する本をいろいろ調べました。
わかったことは、私にとってかなりレベルが高く難解なことです。

　以下は、νμ + e → νμ + eの計算について調べた結果です。
まず、「素粒子標準模型入門」W.N.コッティンガム、D.A.グリーンウッド著
P128に、νμ＋e-→μ-+νeの計算結果（これは中性カレントではないかも？）
ｄσ/dΩ=G^2F/(4π^2) (s-mμ^2)^2/s

P158に、νμ＋e-→νμ＋e-の計算結果
ｄσ/dΩ=G^2Fs/π (4/3 Sin^4θw- Sin^2θw+1/4)

νbarμ＋e-→νbarμ＋e-の計算結果
ｄσ/dΩ=G^2Fs/π (4/3 Sin^4θw- 1/3 Sin^2θw+1/12)

とありましたが、計算方法については詳しく記載されておりませんでした。

ワインバーグ 場の量子論〈４巻〉と長島順清「素粒子標準理論と実験的基礎　
朝倉物理学大系」に記載されていると思われるのですが、難解でわかりませんでした。

また日置善郎『場の量子論-摂動計算の基礎』は見ておりませんが、残念ながら
最寄りの図書館にはありません。

理論の中身は難解ですが、計算だけを取りあえずやってみたいです。
必要なトレースの式は、どのような形になるのでしょうか？
いろいろと本を調べたのですが、見つけることができませんでした。
ご教示頂きましたら幸いです。

補足

毎々お返事ありがとうございます。

＞レプトン質量を無視した場合としなかった場合の断面積は同じにはなりません。

今、手元にエイチスン=ヘイの本しかないので他の本を調べてみたいと思います。

＞一方伝播関数
＞　i( sl{p] +m )/( p^2 - m^2 )
＞の分母の方はレプトンの質量を無視する場合としない場合の違いがあります。

計算する際、分子だけでは無く、一方伝播関数　i( sl{p] +m )/( p^2 - m^2 )　全体を考える必要があるのでしょうね。

回答No.9

grothendieck

奇数個のγ行列の積のトレースは０なので

Tr[(sl[k] + m) γμ (1 - γ5) (sl[j] + m) γν (1 - γ5)]
= Tr[sl[k] γμ (1 - γ5) sl[j] γν (1 - γ5)]
　+ m^2 Tr[ γμ (1 - γ5) γν (1 - γ5)]

ここで
　Tr{γ5 γμ γν} = 0
　{γ5, γμ } = 0
　 γ5 ^2 = 0
を使うと

　Tr[ γμ (1 - γ5) γν (1 - γ5)] = 0
なので質量を入れたときと入れないときの結果が同じになって良いのではないでしょうか。Weinberg-Salam理論ではレプトンの異なるfamilyの間での転換を含むカレントはありません。すなわちエイチスン=ヘイの(10.95)式はニュートリノ、電子、ミューオンの質量をそれぞれ0、me, mμ としたとき

　Tr[(sl[k’]+mμ) γμ (1 - γ5) sl[k] γν (1 - γ5)]
×(1/2)Tr[sl[p'] γμ (1 - γ5) (sl[p]+me) γν (1 - γ5)]

としなければなりませんが、この場合もme, mμに比例する項は0になります。一方伝播関数
　i( sl{p] +m )/( p^2 - m^2 )
の分母の方はレプトンの質量を無視する場合としない場合の違いがあります。

補足

毎々お返事頂きましてありがとうございます。

＞質量を入れたときと入れないときの結果が同じになって良いのではないでしょうか。

わかりました。

＞ニュートリノ、電子、ミューオンの質量をそれぞれ0、me, mμ としたとき

ニュートリノは、最近の観測の結果「ほんの少しだけ質量がある。」と聞いたのですが、ほとんどゼロなので、０として入力しても正しい計算結果が得られるのですね。

＞としなければなりませんが、この場合もme, mμに比例する項は0になります。

結局、どのように質量を考慮しても計算結果に影響しないのですね。つまり、質量を考慮した場合と無視した場合、計算結果は同じなのですね。

＞一方伝播関数
＞　i( sl{p] +m )/( p^2 - m^2 )
＞の分母の方はレプトンの質量を無視する場合としない場合の違いがあります。

レプトンの質量を考慮した場合、分子は、
　Tr[(sl[k’]+mμ) γμ (1 - γ5) sl[k] γν (1 - γ5)]
×(1/2)Tr[sl[p'] γμ (1 - γ5) (sl[p]+me) γν (1 - γ5)]
となり、
レプトンの質量を無視した場合、分子は、
　Tr[(sl[k’]) γμ (1 - γ5) sl[k] γν (1 - γ5)]
×(1/2)Tr[sl[p'] γμ (1 - γ5) (sl[p]) γν (1 - γ5)]
となりまうので結局計算する際、分母の方は気にしなくてよいのではないでしょうか？それとも計算に微妙に影響するのでしょうか？恐れ入りますがご教示頂きましたら幸いです。

追伸
質量を考慮した場合と無視した場合の計算結果は同じなので、Mandelstam変数は、下記でOKでしょうか？
p0^2 - p1^2 - p2^2 - p3^2 ------->0;
q0^2 - q1^2 - q2^2 - q3^2------->0;
k0^2 - k1^2 - k2^2 - k3^2-------> 0;
j0^2 - j1^2 - j2^2 - j3^2-------> 0;
q0*p0 - q1*p1 - q2*p2 - q3*p3-------> 0 - (t/2);
j0*p0 - j1*p1 - j2*p2 - j3*p3-------> (1/2)*( - u);;
j0*q0 - j1*q1 - j2*q2 - j3*q3------->(1/2)*(s 2);
k0*j0 - k1*j1 - k2*j2 - k3*j3-------> - (t/2);
k0*p0 - k1*p1 - k2*p2 - k3*p3------->(1/2)*(s);
k0*q0 - k1*q1 - k2*q2 - k3*q3------->(1/2)*( - u);

回答No.8

grothendieck

レプトンの質量を入れるときは
　sl[p] → sl[p] - m
と前回回答したのは誤りです。すみませんでした。正しくは
　 　sl[p] → sl[p] + m
です。ファインマンルールはエイチスン-ヘイの付録F27のようにレプトンの伝播関数は
　i( sl{p] +m )/( p^2 - m^2 )
になります。

お礼

毎々お世話になります。

わかりました。ありがとうございます。sl[p] → sl[p] + mで計算してみます。また結果を報告させて頂きます。

補足

毎々お世話になります。

レプトンの質量を考慮し、まずTamar Aで計算してみました。
結果は、以下の通りで、質量を考慮しない場合と全く同じ答えに
なりました。どこが悪いのでしょうか？Tamar Aを使用しないで
計算しても同様です。

計算結果
128 (k0 p0 - k1 p1 - k2 p2 - k3 p3) (j0 q0 - j1 q1 - j2 q2 - j3 q3)

レプトンの質量を考慮しTamar Aを使用したプログラムです。
y1 = tr[(sl[k] + m[k]) ** gm[μ] ** (1 - gm[5]) ** (sl[j] + m[k]) ** gm[ν] ** (1 - gm[5])];
y2 = 1/2*tr[(sl[p] + m[p]) ** gm[up[μ]] ** (1 - gm[5]) ** (sl[q] + m[p]) **gm[up[ν]] ** (1 - gm[5])];
y3 = Simplify[y1*y2];
y4 = y3 /. sc[k, p] -> k0*p0 - k1*p1 - k2*p2 - k3*p3 /.
sc[j, q] -> j0*q0 - j1*q1 - j2*q2 - j3*q3;
Print[y4];

追伸
レプトンの質量を考慮した場合のMandelstam変数は、
pとｑの質量（電子）をmp、kとｊの質量（ミューオン）
をmkとした場合、下記でよろしいでしょうか？

p0^2 - p1^2 - p2^2 - p3^2 ------->mp^2;
q0^2 - q1^2 - q2^2 - q3^2------->mp^2;
k0^2 - k1^2 - k2^2 - k3^2-------> mk^2;
j0^2 - j1^2 - j2^2 - j3^2-------> mk^2;
q0*p0 - q1*p1 - q2*p2 - q3*p3-------> mp^2 - (t/2);
j0*p0 - j1*p1 - j2*p2 - j3*p3-------> (1/2)*(mp^2 + mk^2 - u);;
j0*q0 - j1*q1 - j2*q2 - j3*q3------->(1/2)*(s - mp^2 - mk^2);
k0*j0 - k1*j1 - k2*j2 - k3*j3-------> mk^2 - (t/2);
k0*p0 - k1*p1 - k2*p2 - k3*p3------->(1/2)*(s - mp^2 - mk^2);
k0*q0 - k1*q1 - k2*q2 - k3*q3------->(1/2)*(mp^2 + mk^2 - u);