コンプトン散乱計算の数値代入について

質問

以前、ここでご教示頂きましたコンプトン散乱の計算式に適当に数値を入れて計算しました。
元の式は、
Tr{(sl[q]+m)γμu(sl[p]+sl[k]+m)γνu(sl[p]+m)γνd( sl[p]+sl[k]+m)γμd}
= Tr[(-2sl[q]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)(-2sl[p]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)]
です。
これを、mathematicaで計算して

y4 = 64*k0^2*m^2 - 64*k1^2*m^2 - 64*k2^2*m^2 - 64*k3^2*m^2 + 64*m^4 + 64*k0*m^2*p0 - 64*k1*m^2*p1 - 64*k2*m^2*p2 - 64*k3*m^2*p3 -
64*k0*m^2*q0 + 16*k0^2*p0*q0 + 16*k1^2*p0*q0 + 16*k2^2*p0*q0 + 16*k3^2*p0*q0 - 48*m^2*p0*q0 + 32*k0*p0^2*q0 + 16*p0^3*q0 -
32*k0*k1*p1*q0 - 32*k0*p1^2*q0 - 16*p0*p1^2*q0 - 32*k0*k2*p2*q0 - 32*k0*p2^2*q0 - 16*p0*p2^2*q0 - 32*k0*k3*p3*q0 ・・・・・
以下省略

x = 2; y = 1; q0 = x; q1 = y; q2 = y; q3 = y; p0 = x; p1 = y;
p2 = y; p3 = y;k0 = x; k1 = y; k2 = y; k3 = y;
m = Sqrt[q0^2 - q1^2 - q2^2 - q3^2];
Print[N[y4]];

を得て、適当に数値を入れて計算しました。
もちろん適当な数値なので、何の意味もない値が導かれました。そこで質問ですが、この式に意味のある数値を代入して、実験値に近い計算値を導くには、それぞれの変数にどのような値を入れれば良いのでしょうか？

回答No.11

grothendieck · ベストアンサー

エイチスン=ヘイの(6.186)から(6.187)を導く段階について
(5.115)と(6.186)から断面積を求めるときは、(5.115)の|F|^2のところに(6.186)の(1/4)Σ|F|^2を代入しなければなりません。なぜならば、(5.115)は入射電子と光子が偏極し、散乱電子・光子の偏極も測定する場合の断面積、(6.186)は入射・散乱粒子の偏極を考慮しない場合に|F|^2が置き換えられるべき量を表わしているからです。すると
　dσ/dΩ = (-2e^4/(64π^2 W^2)) (u/s + s/u)
ここでWは重心系でのエネルギーなのでW^2はsに等しく、
　dΩ=d(cosθ)dφ
とすると
　dσ/d(cosθ)dφ = (-2e^4/(64π^2 s)) (u/s + s/u)
入射粒子が偏極していない場合断面積は入射方向に関して軸対称でφに依存しないので、この式をφについて積分すると2πをかけることになります。
　dσ/d(cosθ) = 2π(-2e^4/(64π^2 s)) (u/s + s/u)
こうしてちゃんと(6.187)になります。

お礼

お返事ありがとうございます。

取り敢えず、ここで一旦締め切り、再度同じ質問させて頂きます。

補足

お返事ありがとうございます。

更に、下記につきましてもご教示頂きましたら幸いです。
質問１、
下記プログラムのy3は、干渉項（クロス項）ですが、干渉項は、y３の２倍でよろしいでしょうか？

プログラム
y1 = e^4/(4(s-m[p]^2)^2)*tr[(sl[k4] + m[p])**gm[up[ν]]**(sl[k2] + sl[k3] + m[p])**gm[up[μ]]**(sl[k2] + m[p])**gm[μ]**(sl[k2] + sl[k3] + m[p])**
gm[ν]];
y2 = e^4/(4(u-m[p]^2)^2)*tr[(sl[k4] + m[p])**gm[up[ν]]**(sl[k2] - sl[k1] + m[p])**gm[up[μ]]**(sl[k2] + m[p])**gm[μ]**(sl[k2] - sl[k1] + m[p])**
gm[ν]];
y3 = e^4/(4(u-m[p]^2)*(s-m[p]^2))*tr[(sl[k4] + m[p])**gm[up[ν]]**(sl[k2] - sl[k1] + m[p])**gm[up[μ]]**(sl[k2] + m[p])**gm[μ]**(sl[k2] + sl[k1] + m[p])**
gm[ν]];

質問２、
下記の式は偏光を考慮していません。最初この計算結果を、変型して、参考URLの偏光を考慮しない式（7.7.485）を導こうとしましたが、よくわからないので、最初から偏光を考慮して、式（7.7.462）を求め更に、式（7.7.480）を求めたいと思います。そして最終的にはご教示頂いた式（7.7.484）によって偏光を考えない式にするつもりです。
そこで、質問ですが、偏光を考慮した場合、下記の直接項を求める式はどうなるのでしょうか？

注意；下記の式にこだわる理由は、mathematica　TamarAで計算するには、下記のようにγ行列がそのまま現れるような式で表現しないと計算ができないからです。たとえば、ワインバーグの本の式（８、７、２１）は、スマートですが、TamarAを使用して計算しようとしてもうまくいきませんでした。

Tr{(sl[q]+m)γμu(sl[p]+sl[k]+m)γνu(sl[p]+m)γνd( sl[p]+sl[k]+m)γμd}
= Tr[(-2sl[q]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)(-2sl[p]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)]

質問３、
εのスラッシュは、下記でよろしいでしょうか

sl[ε]=gu[0]*ε0+gu[1]*-ε1+gu[2]*-ε2+gu[3]*-ε3

質問４、
参考URLは、非常に全体の流れがわかりやすく素晴らしい資料だと思いますが、下記を教えて下さい。
（１）
式（７、７、４４３）の下の「κ２＾２＋μ＾２＝０は、式（７、７、４４５）
の上に記載されているκ２＝（μ、０、０、０）と矛盾しないでしょうか？

（２）
式（７、７、４４３）の下の「入射電子と入射光子、、、」は、逆であり、「入射光子と入射電子、、、」ではないでしょうか？

（３）
式（７、７、４４５）の上に記載されているκ１＝（κ２、０、０、κ２）
は、κ１＝（κ１、０、０、κ１）ではないでしょうか？

（４）
ελ１（κ１）は、具体的にどのようなベクトルなのでしょうか？たとえば、
ελ１（κ１）＝（１、０、０、１）

（５）
式（７、７、４４６）のλ４は、λ３の誤りではないでしょうか？

（６）
式（７、７、２２７）は、デイラック方程式ではないです。

（７）
式（７、７、４４９）のελ１（κ１）＝ε２は、ε１ではないでしょうか？

（８）
式（７、７、４５２）から、μすなわち質量を０として計算しているように思われるのですが、どうでしょうか？

回答No.10

grothendieck

マンデルスタム変数はエイチスン=ヘイ(5.124)(5.125)にあるように s=(k2 + k1)^2 なので電子質量を無視する場合は2k1・k2、質量を無視しない場合は m^2 + 2k1・k2 でいずれにせよ k3・k2 にはなりません。このようなことは自分で調べて下さい。ｍの影響はー２ということはないでしょう。ｍの影響ならば　 m→0 の極限で消えるはずですが、(7.7.463)はm→0 の極限をとっても -2 は消えません。なおε・ε' は光子偏極について和と平均を取ったときも0になるのではなく、http://www.a.phys.nagoya-u.ac.jp/~taka/lectures...　の(7.7.484)になります。
ハイトラーの「輻射の量子論」（上）P２２７　表IVは実験値ではなく、式(45)の数値を示しているだけです。実験データはハイトラーの図10の○でプロットされているもの、および図11の×○□でプロットされているものです。

お礼

お返事ありがとうございます。

＞マンデルスタム変数はエイチスン=ヘイ(5.124)(5.125)にあるように s=(k2 + k1)^2 なの＞で電子質量を無視する場合は2k1・k2、質量を無視しない場合は m^2 + 2k1・k2 でい＞ずれにせよ k3・k2 にはなりません。

よくわかりました。

＞ｍの影響はー２ということはないでしょう。ｍの影響ならば　 m→0 の極限で消えるは＞ずですが、(7.7.463)はm→0 の極限をとっても -2 は消えません。なおε・ε' は光子偏極＞について和と平均を取ったときも0になるのではなく、＞http://www.a.phys.nagoya-u.ac.jp/~taka/lectures...　の(7.7.484)になります。

最終的には、(7.7.485)になるということですね

＞ハイトラーの「輻射の量子論」（上）P２２７　表IVは実験値ではなく、式(45)の数値を＞示しているだけです。実験データはハイトラーの図10の○でプロットされているもの、＞および図11の×○□でプロットされているものです。

よくわかりました。

＞入射粒子が偏極していない場合断面積は入射方向に関して軸対称でφに依存しないので、＞この式をφについて積分すると2πをかけることになります。
＞　dσ/d(cosθ) = 2π(-2e^4/(64π^2 s)) (u/s + s/u)
＞こうしてちゃんと(6.187)になります。

よくわかりました。ご親切なご回答ありがとうございました。

回答No.9

grothendieck

μがマンデルスタム変数だとすると次元が合いません。その少し後に「kを電子質量とするとき k^2+μ^2=0 」という文があることからもμは電子の静止質量です。これより、計量テンソルは

　g00= -1, g11= g22 = g33= 1
と定義されていることが分かります。

お礼

更に、下記もご教示頂きましたら幸いです。

まず、mathematicaで式（7.7462）の偏光を考慮しないものを求めたいと思います。そして目標は、最終的に式（7.7.480）を求めたいです。

下記は、式（7.7462）を計算したプログラムですが、一致しません。そこで、次の点を教えて下さい。

質問１．
"(*mが０の場合*)"の計算結果は、
式（7.7462）の係数が“２”であるのに対して、“８”になります。
e^4/(4(s-m[p]^2)^2)の取り方の違いでしょうか？
マンデルスタム変数sは、sc[k3,k2]と置き換えればよいでしょうか？

質問２．
"(*mが０でない場合*)"の計算結果は、式（7.7462）よりもかなり複雑な式になってしまいましたが、もっと簡単に約す事ができるのでしょうか？それとも、どこかで間違っているのでしょうか？

プログラム
y1 = e^4/(4(s-m[p]^2)^2)*tr[(sl[k4] + m[p])**gm[up[n]]**(sl[k2] + sl[k3] + m[p])**gm[up[m]]**(sl[k2] + m[p])**gm[m]**(sl[k2] + sl[k3] + m[p])**
gm[n]];
y2 = e^4/(4(u-m[p]^2)^2)*tr[(sl[k4] + m[p])**gm[up[n]]**(sl[k2] - sl[k1] + m[p])**gm[up[m]]**(sl[k2] + m[p])**gm[m]**(sl[k2] - sl[k1] + m[p])**
gm[n]];
y3=FullSimplify[y1 + y2];
y4=y3/.sc[k3, k3]->0/.sc[k1, k1]->0/.sc[k2, k2]->m[p]^2/.sc[k4, k4]->m[p]^2/.s->sc[k3,k2]/.u->sc[k1,k2];
y6=FullSimplify[ExpandAll[y4]];
Print["(*mが０でない場合*)"];
Print[y6];
Print["(*mが０の場合*)"];
y7=y4/.m[p]->0;
Print[y7];

計算結果
"(*mが０でない場合*)"
(8*e^4*(4*m[p]^8 - m[p]^6*(6*sc[k1, k2] - sc[k1, k4] + 2*(sc[k2, k3] + sc[k2, k4]) + sc[k3, k4]) +
sc[k1, k2]*sc[k2, k3]*(sc[k1, k4]*sc[k2, k3] + sc[k1, k2]*sc[k3, k4]) +
m[p]^2*(sc[k2, k3]^2*(sc[k1, k4] - sc[k2, k4]) + sc[k1, k2]^2*(2*sc[k2, k3] - sc[k2, k4] - sc[k3, k4]) -
2*sc[k1, k2]*sc[k2, k3]*(sc[k1, k4] + sc[k2, k3] + sc[k3, k4])) +
m[p]^4*(2*sc[k1, k2]^2 + sc[k2, k3]*(-2*sc[k1, k4] + 2*(sc[k2, k3] + sc[k2, k4]) + sc[k3, k4]) +
sc[k1, k2]*(sc[k1, k4] + 2*(sc[k2, k4] + sc[k3, k4])))))/((m[p]^2 - sc[k1, k2])^2*(m[p]^2 - sc[k2, k3])^2)

"(*mが０の場合*)"
4*e^4*((2*sc[k1, k4])/sc[k1, k2] + (2*sc[k3, k4])/sc[k2, k3])

補足

お返事ありがとうございます。
わかりました。

式（７．７．４６３）は

２ｈ＾２ｃ＾２e^4[κ2・κ3/κ１・κ２+κ１・κ２/κ2・κ3+４（ε１・ε３）＾２－２]

とありますが、κ2・κ3/κ１・κ２+κ１・κ２/κ2・κ3は、ｍ＝０として導いた結果と同じですし、４（ε１・ε３）＾２は、偏光によるものです。すると、ｍの影響によるものはー２なのでしょうか？

回答No.8

grothendieck

実験データが全断面積であるとき、まず dσ/d(cosθ) を cosθについて -1 から1 まで積分して全断面積を求める必要があります。次に座標変換をする必要がありますが、実験室系(電子の静止系)では電子の静止質量は無視できないので、電子の質量を０として求めた断面積を実験室系に変換するのは不適当です。そこで実験データの方を重心系に変換することが考えられます。実験室系と重心系の変換については下記のURLなどが参考になります。しかしハイトラーの本のデータは低エネルギーのものなので、電子の質量を０とした断面積とはあまり一致しないかもしれません。もう一つの方法は、数式処理を使って電子の質量を０としない計算を行い、実験室系の断面積を求めることです。

参考URL：

http://www.a.phys.nagoya-u.ac.jp/~taka/lectures/cosmology/webfiles/cosmology-web/node132.html

補足

お返事ありがとうございます。
参考URLを理解して計算を進めたいと思います。
基本的なことなのですが、式（７.７.４４２）は今まで見慣れてきた式によく似ていますが、ｍがない代わりに、μがあります。これは、マンデルスタム変数なのでしょうか？

回答No.7

grothendieck

私はエイチスン=ヘイは持っていないので、とりあえずご質問の３と４に回答します。
質問３
計算値と実験値の比較に影響があるというより偏極の効果を調べたいかどうかの問題です。偏極の効果を調べたい場合は、計算でも実験でも入射光子が偏極しているとし、散乱後特定の偏極を測定する必要があります。偏極の効果を調べない場合は、計算でも実験でも偏極していない入射光子を用い、散乱後は偏極について和を取る必要があります。ハイトラー「輻射の量子論」は、偏極してない場合の実験値だと思います。
質問４
コンプトン散乱よりもっと複雑な過程の一部として電子による仮想光子の散乱がでてくることがあります。（６．１８９）は後でそのような場合に使うためのもので、最低次のコンプトン散乱では仮想光子は考える必要がありません。

補足

お返事ありがとうございます。
上記は了解致しました。
取りあえず、振幅の２乗に
２π/（６４π＾２ｓ）　；ｓは、ｓ＝（ｐ＋κ）＾２
を掛けると、重心系の断面積
ｄδ/ｄ（Cosθ）=２π/（６４π＾２ｓ）・２e^4・（-μ/ｓ-ｓ/μ）
が導かれます。数学的な根拠は難しいので、このまま置いておきます。
一番知りたいことは、この理論的に導かれた重心系の断面積ｄδ/ｄ（Cosθ）が、どのような実験値と一致するか？です。
ハイトラーの「輻射の量子論」（上）P２２７　表IVには、
φ0を単位としたコンプトン散乱の全断面積の色々な入射エネルギーに対する値
　γ　　　 　φ/φ0
0. 05 、 0.913
0. 1 、 0.84
0. 2 、 0.737
0. 33 、 0.637
0. 5 、 0.563
1.、 0.431
2 、 0.314
3 、 0.254
5 、 19.1
10 、 12.3
20 、 7.54
50、 3.76
100 、 2.15
200 、 1.22
500 、 0.556
1000 、 0.0304
×10＾-2

φ0=8πr0^2/3
γ=κ0/μ　　　
とあります。
重心系の断面積ｄδ/ｄ（Cosθ）に数値を代入して、上記の実験値に近い値を導けるのでしょうか？

回答No.6

grothendieck

Compton散乱の最低次の二つのファインマン図形のうち、直接過程はエイチスン=ヘイの(6.176)より断面積への寄与は(6.180)となり、交換過程は(6.177)より
　e^4/(4(u-m^2)^2) Tr{γν(sl[q] + m[p])γν(sl[p] - sl[j] + m)γμ(sl[p] + m[p])γμ(sl[p] - sl[j] + m)}
直接過程は分母が4(s-m^2)^2、交換過程は分母が4(u-m^2)^2と異なるので、二つのトレースを直接和を取ることはできません。
エイチスン=ヘイでは入射光子が偏極せず、散乱後の偏極も測定しないとして(5.168)を使っているのでトレース中に光子の偏極ベクトルが入っていないのです(この方が計算が簡単になる)。一方、ワインバーグは偏極ベクトルを残しています。平均を取ってしまった後で元のものを再現することはできません。つまりワインバーグの本のeをkなどで表わすことはできません。一方、ωは光子のエネルギーなのでk０　になります。

補足

お返事ありがとうございます。

＞直接過程は分母が4(s-m^2)^2、交換過程は分母が4(u-m^2)^2と異なるので、二つのトレースを直接和を取ることはできません。

了解致しました。ｍ＝０として“直接”と“交換”過程を足して、振幅の２乗を求めました。（最終的には、ｍ＝０とせずに断面積を求めたいですが、取りあえず、計算の流れを掴む為、ｍ＝０としました。）

y1 = e^4/(4(s-m[p]^2)^2)*tr[(sl[q] + m[p])**gm[up[n]]**(sl[p] + sl[k] + m[p])**gm[up[m]]**(sl[p] + m[p])**gm[m]**(sl[p] + sl[k] + m[p])**
gm[n]];
y2 = e^4/(4(u-m[p]^2)^2)*tr[(sl[q] + m[p])**gm[up[n]]**(sl[p] - sl[j] + m[p])**gm[up[m]]**(sl[p] + m[p])**gm[m]**(sl[p] - sl[j] + m[p])**
gm[n]];
y3=FullSimplify[y1 + y2];
y4=y3/.sc[k, k]->0/.sc[j, j]->0/.sc[p, p]->m[p]^2/.sc[q, q]->m[p]^2/.m[p]->0/.sc[k,p]->s/2/.sc[k,q]->-u/2/.sc[j,p]->-u/2/.sc[j,q]->s/2;
Print[FullSimplify[y4]];

計算結果は、(-2*e^4*(s^2 + u^2))/(s*u)となり、エイチスン=ヘイの（６．１８６）になりました。

さらに、重心系の断面積（６．１８７）を求めたいのですが、（６．１８６）を（５．１１５）に代入し下記の計算により、

y5=FullSimplify[ExpandAll[4*1/(8*p*W)^2*y4]]

計算結果
-(e^4*(s^2 + u^2))/(8*Pi^2*s*u*W^2)
となりました。

下記についてご教示頂きましたら幸いです。
質問１
（５．９６）によりWは、 (p^2+m1^2)^(1/2)+ (p^2+m2^2)^(1/2)とありますが、これをそのまま代入しても（６．１８７）になりません。どこの計算が悪いのでしょうか？
（６．１８７）と（５．１１５）とから、逆にWを求めると下記のようになります。

Solve[2*p*2*e^4/(64*p^2*s)-8/(8*p*W)^2==0,W]

計算結果
{{W -> -((Sqrt[2/Pi]*Sqrt[s])/e^2)}, {W -> (Sqrt[2/Pi]*Sqrt[s])/e^2}}

質問２
計算値と実験値を比較するには、（６．１８７）を計算値として使用すればよいと思うのですが、
それに対する実験値は、ハイトラー「輻射の量子論」P２２７　表IV　になるのでしょうか？
質問３
計算値と実験値を比較した場合、入射光子が偏極せず、散乱後の偏極も測定しないとしても、あまり影響ないでしょうか？または、ハイトラー「輻射の量子論」には、そのような実験値が記載されているでしょうか？
質問４
（６．１８９）には、仮想光子を考慮した振幅の式が記載されていますが、これについても、無視すると計算値と実験値に大きな差が現れるのでしょうか？

回答No.5

grothendieck

3次元ベクトルの内積を
　P・Q = p1*q1 + p2*q2 + p3*q3
4次元ベクトルの内積を
　(p,q) = p0*q0 - p1*q1 - p2*q2 - p3*q3
と書くことにすると答え１は
64*(2*m^4 + (K・K)*p0*q0 + (K・P)*(K・Q) -
k0*q0(K・P) - k0*p0*(K・Q) - m^2*(p,q))
ここで (k,k) = k0^2 - (K・K)=0 であることから、上の式は
　64*(2*m^4 + k0^2*p0*q0 + (K・P)*(K・Q) -
k0*q0(K・P) - k0*p0*(K・Q) - m^2*(p,q))
= 64*(2*m^4 + (k,p)(k,q) - m^2*(p,q))
一方、TamarAの結果は、k^2=0, p^2=m[p]^2 を代入すると
32*(4*m[p]^2*(m[p]^2 + k^2) + 2*(k, p)(k, q) - (3*m[p]^2 + k^2 - p^2)(p, q))
= 64*(2*m[p]^4 + (k,p)(k,q) - m[p]^2*(p,q))
なので両者は一致しています。

お礼

お返事ありがとうございます。

安心致しました。内積の計算は、上記で初めて理解しました。γ体操の公式はたくさん記載されていますが、教科書だけでは具体的な計算がわかりにくいです。

ご教示頂きました輻射の量子論とワインバーグの場の量子論を読んで次のステップに移りたいと思います。（本当は読んだのですが、よくわかりませんでした。特に今計算しているのが、ワインバーグの本のどれに該当するのかわかりません。同じコンプトン散乱の計算でも、式の表現が本によって若干異なるからです。）しかし、再度、チャレンジします。

補足

よく教科書を見ますと、２つ目のファインマン図のκは、只のκではなく、ダッシュが付いていました。従いまして、κダッシュを　j として計算しました。
計算結果は、下記です。なおsc[j, q]とは、(j・q)のことです。

16*(2*(4*m[p]^4 - m[p]^2*sc[j, q] + sc[j, p]*sc[j, q] + 2*m[p]^2*(-sc[j, p] + sc[j, q] + sc[k, p] - sc[k, q]) +
(m[p]^2 + sc[k, p])*sc[k, q]) - 4*m[p]^2*sc[p, q])

下記について、ご教示願います。

１． この計算結果は、ワインバーグの「場の量子論」のP100 の式（8.7.38）に相当するのでしょうか？
２． もし相当するなら、eとωは、上記の変数k, j,p,q,m[p]から導けるのでしょうか？

回答No.4

grothendieck

Compton散乱の実験結果についてはハイトラー輻射の量子論(上)にもありますが、より詳しいのは
　R.D. Evans:”Compton Scattering” in Handbuch der Physik Band XXXIV , S.218
にあります（幸い？英語です）

お礼

とりあえず、途中経過ですが、
ファインマン図の計算式を２個合算して、
k0^2 - k1^2 - k2^2 - k3^2＝０
p0^2 - p1^2 - p2^2 - p3^2 ＝ m^2
を使用して、下記の答え１を得ました。

また、TamarA　のプログラムを使用して計算すると、
32*(4*m[p]^2*(m[p]^2 + k^2) + 2*(k, p)(k, q) - (3*m[p]^2 + k^2 - p^2)(p, q))
となりました。
両者の答えが異なるようですが、下記の答え１は、間違っているのでしょうか？
ちなみに下記の答え１には、
q0^2 - q1^2 - q2^2 - q3^2 ＝ m^2
は、必要なかったので使いませんでした。

答え１
64*(2*m^4 + (k1^2 + k2^2 + k3^2)*p0*q0 + (k1*p1 + k2*p2 + k3*p3)*(k1*q1 + k2*q2 + k3*q3) -
k0*(k1*p1*q0 + k2*p2*q0 + k3*p3*q0 + k1*p0*q1 + k2*p0*q2 + k3*p0*q3) + m^2*((-p0)*q0 + p1*q1 + p2*q2 + p3*q3))

プログラム
y1 = FullSimplify[ExpandAll[128*k0^2*m^2 - 128*k1^2*m^2 - 128*k2^2*m^2 - 128*k3^2*m^2 + 128*m^4 + 32*k0^2*p0*q0 + 32*k1^2*p0*q0 +
32*k2^2*p0*q0 + 32*k3^2*p0*q0 - 96*m^2*p0*q0 + 32*p0^3*q0 - 64*k0*k1*p1*q0 - 32*p0*p1^2*q0 - 64*k0*k2*p2*q0 -
途中下省略

y2 = FullSimplify[ExpandAll[PolynomialRemainder[y1, k0^2 - k1^2 - k2^2 - k3^2, k0]]];
y3 = FullSimplify[ExpandAll[y1 - y2]];
y4 = y2 + y3 /. k0^2 - k1^2 - k2^2 - k3^2 -> 0;
y5 = FullSimplify[ExpandAll[PolynomialRemainder[y4, p0^2 - p1^2 - p2^2 - p3^2, p0]]];
y6 = FullSimplify[ExpandAll[y4 - y5]];
y7 = y5 + y6 /. p0^2 - p1^2 - p2^2 - p3^2 -> m^2;
FullSimplify[ExpandAll[y7]]

TamarAのプログラム

y1 = tr[(sl[q] + m[p])**gm[up[n]]**(sl[p] + sl[k] + m[p])**gm[up[m]]**(sl[p] + m[p])**gm[m]**(sl[p] + sl[k] + m[p])**
gm[n]];
y2 = tr[(sl[q] + m[p])**gm[up[n]]**(sl[p] - sl[k] + m[p])**gm[up[m]]**(sl[p] + m[p])**gm[m]**(sl[p] - sl[k] + m[p])**
gm[n]];
FullSimplify[y1 + y2]

補足

お返事ありがとうございます。

とりあえず、明日図書館でハイトラー輻射の量子論とワインバーグの本を借りてきます。

回答No.3

grothendieck

下の回答で「q0^2 - q1^2 - q2^2 - q3^2とk0^2 - k1^2 - k2^2 - k3^2 で因数分解」と書いたのは正確ではありませんが、要はq0^2 - q1^2 - q2^2 - q3^2とk0^2 - k1^2 - k2^2 - k3^2などローレンツ不変な内積 をくくり出して簡単化して下さいということです。結果ををf(q0, q1, q2, q, k0, k1, k2, k3) としたとき f をk0^2 - k1^2 - k2^2 - k3^2 で割って商と余りを求める計算はMathematicaででできるはずです。
　f = (k0^2 - k1^2 - k2^2 - k3^2 )・g(q0, q1, q2, q, k0, k1, k2, k3) + h(q0, q1, q2, q, k0, k1, k2, k3)
として(k0^2 - k1^2 - k2^2 - k3^2 )=0 を代入するとh(q0, q1, q2, q, k0, k1, k2, k3) だけに簡単化され、どうようにq0^2 - q1^2 - q2^2 - q3^2などもくくり出して定数m^2で置き換え簡単化し入射X線のエネルギーと散乱角の関数の形にもっていくべきでしょう。

お礼

お返事ありがとうございます。

ご指摘ありがとうございます。

変数に数値を代入する前に、特殊相対論でいう不変量のような(k0^2 - k1^2 - k2^2 - k3^2 )=0、q0^2 - q1^2 - q2^2 - q3^2=0を出す必要があるのですね。

ファインマン図を、更に　１つ追加して計算し、元のものと合算してから、上記作業をやります。

補足

少し間違いました。訂正致します。

q0^2 - q1^2 - q2^2 - q3^2=m^2

回答No.2

grothendieck

最低次のコンプトン散乱には二つのファインマン図が対応し、微分断面積を求めるためには、もう一つのファインマン図の振幅も加える必要があります。まさか、それを認識されていないことはないと思いますが、質問文中には少しも書かれていないので、念のため。さて、結果はExpandで展開すると非常に長くなり分かりにくいものになります。ローレンツ変換性が簡単な量で表わすためにもm をSqrt[q0^2 - q1^2 - q2^2 - q3^2]で置き換えるのではなく、むしろq0^2 - q1^2 - q2^2 - q3^2とk0^2 - k1^2 - k2^2 - k3^2 で因数分解してからそれぞれm^2と0で置き換えるべきでしょう。実験と比較するためにはワインバーグ2巻の(8.7.41)の形にする必要があります。実験データ自体はハイトラーの「輻射の量子論」にあるかもしれません（未確認）。

お礼

お返事ありがとうございます。

＞まさか、それを認識されていないことはないと思いますが、質問文中には少しも書かれていないので、念のため。

もちろん、答えは、２つのファインマン図の合計だと思っておりました。ご指摘深謝致します。

補足

もう１個のファインマン図の計算式は、

Tr{(sl[q]+m)γμu(sl[p]-sl[k]+m)γνu(sl[p]+m)γνd( sl[p]-sl[k]+m)γμd}

でよろしいでしょうね。
ちなみに

= Tr[(-2sl[q]+4m)( sl[p]-sl[k]+m)(-2sl[p]+4m)( sl[p]-sl[k]+m)]

になることは、計算して確認しました。

回答No.1

noname#108554

コンプトン散乱の全断面積を求めたいなら、パラメータは
入射X線のエネルギー（keVオーダー）
電子質量（～0.5MeV）
微細構造定数（～1/137）
しかないのでは？