γ行列につきまして
こんにちは、
γ行列は、パウリ行列の直積として与えられますが、
σ[0]～σ[0]をパウリ行列としますと、２５６行２５６列
のγ行列は、下記のγ[1]～γ[16]以外にも存在するのでしょうか・
存在する場合、具体的にその形を、パウリ行列の直積で
ご教示願います。
σ[1] = {{0, 1}, {1, 0}};
σ[2] = {{0, -I}, {I, 0}};
σ[3] = {{1, 0}, {0, -1}};
σ[0] = {{1, 0}, {0, 1}};
γ[2] = -σ[1], σ[3], σ[3], σ[3], σ[3], σ[3], σ[3], σ[3];
γ[4] = -σ[0], σ[1], σ[3], σ[3], σ[3], σ[3], σ[3], σ[3];
γ[6] = -σ[0], σ[0], σ[1], σ[3], σ[3], σ[3], σ[3], σ[3];
γ[8] = -σ[0], σ[0], σ[0], σ[1], σ[3], σ[3], σ[3], σ[3];
γ[10] = -σ[0], σ[0], σ[0], σ[0], σ[1], σ[3], σ[3], σ[3];
γ[12] = -σ[0], σ[0], σ[0], σ[0], σ[0], σ[1], σ[3], σ[3];
γ[14] = -σ[0], σ[0], σ[0], σ[0], σ[0], σ[0], σ[1], σ[3];
γ[16] = -σ[0], σ[0], σ[0], σ[0], σ[0], σ[0], σ[0], σ[1];
γ[1] = σ[2], σ[3], σ[3], σ[3], σ[3], σ[3], σ[3], σ[3];
γ[3] = σ[0], σ[2], σ[3], σ[3], σ[3], σ[3], σ[3], σ[3];
γ[5] = σ[0], σ[0], σ[2], σ[3], σ[3], σ[3], σ[3], σ[3];
γ[7] = σ[0], σ[0], σ[0], σ[2], σ[3], σ[3], σ[3], σ[3];
γ[9] = σ[0], σ[0], σ[0], σ[0], σ[2], σ[3], σ[3], σ[3];
γ[11] = σ[0], σ[0], σ[0], σ[0], σ[0], σ[2], σ[3], σ[3];
γ[13] = σ[0], σ[0], σ[0], σ[0], σ[0], σ[0], σ[2], σ[3];
γ[15] = σ[0], σ[0], σ[0], σ[0], σ[0], σ[0], σ[0], σ[2];
お礼
｛γi, γj｝＝γiγj+γjγi=2δij を満たし、かつ γ0＝ββ γ1＝α1α1 γ2＝α2α2 γ3＝α3α3 γ4＝α1α2 γ5＝α2α1 γ6＝α2α3 γ7＝α3α2 γ8＝α1α3 γ9＝α3α1 γ10＝α1β γ11＝α2β γ12＝α2β γ13＝βα1 γ14＝βα2 γ15＝βα3 の条件を満たす１６個のγ行列は存在しませんし、存在しても、満たすことを確認する方法は無いかもしれません。すっきりしませんが、締め切らせて頂きます。再度、質問するかもしれません。
補足
お返事ありがとうございます。 ＞書くのを忘れていましたが、下の回答の様に構成したΓは２５６×２５６行列ではなく、 ＞16行16列行列になります。 γiγj+γjγi=2δij (i,j=0,1,2,3)を満たす１６組の行列は、間違いなく２５６×２５６行列以上になります。下記の本には、 （「群と物理」 佐藤光先生著 P182より） クリフォード代数の次元は、 N r N ΣC N =2 (6.82) r=0 であり、従ってNが偶数、N=2nのとき、γ行列は2^n×2^n行列になり、、、 と記載されております。 従いまして、γiγj+γjγi=2δij (i,j=0,1,2,3)を満たす組み合わせは、１６×１６行列では８組、４×４行列では４組しかないということになります。 また私は、上記を知らずに、γiγj+γjγi=2δij (i,j=0,1,2,3)を満たす１６組の行列を、１６×１６行列だろうと予想して、mathematicaを使用して探したのですが、２年間計算して見つけられませんでした。間違いなく、２５６×２５６行列以上になります。 参考までに、γiγj+γjγi=2δij (i,j=0,1,2,3)を満たす１６組の２５６×２５６行列のmathematica プログラムを記載します。 但し、γ0＝ββ、γ1＝α1α1、γ2＝α2α2、γ3＝α3α3・・・・等の条件は満たしてないです。 demoteRank4to2[y_]:=Flatten[Map[Flatten,Transpose[y,{1,3,2,4}],{2}],1]; pauli8times[g1_,g2_,g3_,g4_,g5_,g6_,g7_,g8_]:=demoteRank4to2[Outer[Times,demoteRank4to2[Oute r[Times,demoteRank4to2[Outer[Times,g1,g2]],demoteRank4to2[Outer[Times,g3,g4]]]],demoteRank4t o2[Outer[Times,demoteRank4to2[Outer[Times,g5,g6]],demoteRank4to2[Outer[Times,g7,g8]]]]]]; g[1]={{0,1},{1,0}}; g[2]={{0,-I},{I,0}}; g[3]={{1,0},{0,-1}}; g[0]={{1,0},{0,1}}; e256=IdentityMatrix[256]; gu[0]=pauli8times[g[0],g[0],g[0],g[0],g[0],g[0],g[0],g[2]]; gu[1]=-I*pauli8times[g[1],g[3],g[3],g[3],g[3],g[3],g[3],g[3]]; gu[2]=-I*pauli8times[g[0],g[1],g[3],g[3],g[3],g[3],g[3],g[3]]; gu[3]=-I*pauli8times[g[0],g[0],g[1],g[3],g[3],g[3],g[3],g[3]]; gu[4]=-I*pauli8times[g[0],g[0],g[0],g[1],g[3],g[3],g[3],g[3]]; gu[5]=-I*pauli8times[g[0],g[0],g[0],g[0],g[1],g[3],g[3],g[3]]; gu[6]=-I*pauli8times[g[0],g[0],g[0],g[0],g[0],g[1],g[3],g[3]]; gu[7]=-I*pauli8times[g[0],g[0],g[0],g[0],g[0],g[0],g[1],g[3]]; gu[8]=-I*pauli8times[g[0],g[0],g[0],g[0],g[0],g[0],g[0],g[1]]; gu[9]=I*pauli8times[g[2],g[3],g[3],g[3],g[3],g[3],g[3],g[3]]; gu[10]=I*pauli8times[g[0],g[2],g[3],g[3],g[3],g[3],g[3],g[3]]; gu[11]=I*pauli8times[g[0],g[0],g[2],g[3],g[3],g[3],g[3],g[3]]; gu[12]=I*pauli8times[g[0],g[0],g[0],g[2],g[3],g[3],g[3],g[3]]; gu[13]=I*pauli8times[g[0],g[0],g[0],g[0],g[2],g[3],g[3],g[3]]; gu[14]=I*pauli8times[g[0],g[0],g[0],g[0],g[0],g[2],g[3],g[3]]; gu[15]=I*pauli8times[g[0],g[0],g[0],g[0],g[0],g[0],g[2],g[3]]; For[x=0,x<16,x++, For[y=0,y<16,y++, If[x==y,Print[x,y,gu[x].gu[y]+gu[y].gu[x]==-2*e256]]; If[x=!=y,Print[x,y,gu[x].gu[y]+gu[y].gu[x]==0*e256]]; ]]; ｛γi, γj｝＝γiγj+γjγi=2δij を満たし、かつ γ0＝ββ、γ1＝α1α1、γ2＝α2α2、γ3＝α3α3等の条件を満たす１６個のγ行列は存在するのでしょうか？ 追伸 「光と電子のコンプトン散乱と同程度の計算について」では、基礎的な事項からご親切にご教示頂きましたにも関わらず、私の力不足により途中で挫折してしまい、申し訳ございませんでした。何卒、今後ともよろしくご指導頂きましたら幸いです。