行列式

質問

大学院受験生です。
線形代数の問題で行列

a(ij) = a (i=j)　
　　　　1 (i≠j)
の行列式の値が(a+(n-1))(a-1)^(n-1)
とありますが余因子展開をしてもうまくいきません。どのようにして求めているのでしょうか？

回答No.4

Tacosan · ベストアンサー

#2 に近い大技:
ベクトル x = (1, 1, ..., 1) は A の固有値 a+(n-1) に対応する固有ベクトル.
そして, この x に垂直な任意のベクトル y は A の固有値 a-1 に対応する固有ベクトル.
y は線形独立に n-1本とれるので, A の固有ベクトルとして
・固有値 a+(n-1) に対応する x
・固有値 a-1 に対応する y (n-1本)
をとることができる. で, 行列式は「全ての固有値の積」.
もっとも, この問題に関していえばこんな大技を繰り出す必要はなく, 「2～n 行目を全て 1行目に足す」ことをやればあとはほとんど自明なんだけどさ.

お礼

ありがとうございます。行列の
基本変形で解けたんですね。
なぜか余韻子展開をしようと
ばかりして、一番基本的な
ことを忘れてしまってました。

回答No.3

noname#221368

(1)
　ｎ＝2，3，（頑張って）4 くらいまでラプラス展開を行えば、パターンが読めてきますよ。
　1列目の上三角化を行う際には、非対角成分の分母を行列式の外にくくり出しながら整理してやります。
　パターンがつかめたら、帰納法でどうでしょうか？

(2)
　a＝1の場合は、rank＝0なので、det＝0ですよね。a＝1－nの場合は、rank＝n－1ではないと思います（n＝2，3で確認したみて下さい）。
　この事と、「行列式の値は、aのn次多項式になるのは明らか（明らかになって下さい）」とを組み合わせれば・・・。

お礼

ありがとうございます。a=1とa=1-nのとき
にdetが０になることとaのn次行列の行列式
がn次になることから求められますね。勉強
になりました。

回答No.2

arrysthmia

ヒントだけ。
a=1の場合に、その行列のrankはいくつ？
a=1-nの場合は？

お礼

ありがとうございます。

補足

a=1-nの場合はrank数n-1になります。a=1-nはどのようにして求めているのでしょうか？

回答No.1

koko_u_

>余因子展開をしてもうまくいきません。
はたしてどのようにうまくいかないのでしょうか？？補足にどうぞ。

お礼

ありがとうございます。

補足

1列を展開したとして、小行列式が計算できない（三角行列を作ろうとして計算がぐちゃぐちゃになる）のですが