模試の関数の問題・・

質問

なん基本チックで
できなくてショックです！
条件の決め方がわからないので
そこにいたるまでを書き綴ります！
問題
xが1≦x≦3の範囲を変化するとき。
f(x)=ax^2-2x+3(aは正の整数)
(問い)f(x)が0≦f(x)≦1を満たす値を少なくともひとつとる。・・・（♪）

y=f(x)とおくと
y=a(x-1/a)^2-1/a+3
となる。ここでa＞0だから
y=f(x)のぐらふは下に凸の放物線であり、
aの値によらず
f(1)=a+1＞1・・・なんで＞１なんでしょうか
ちなみにこの式を★とおく。

(1)1/a＜1、つまりa＞1のとき★より♪はおこらない。
式を見比べておこらないのもよくわかりません・・

(2)1≦/a≦3　つまり　1/3≦a≦1のとき
♪の条件は★より
f(1/a)≦1すなわち　-1/a+3≦1である。

ここもよくわからない・・
つまり条件のきめかたが
一貫してよくわからないんです。
★と♪の式をみくらべて
決めているようですが・・・
ついでに(3)の条件もかいときます

(3)1/a＞3つまり　0＜a＜1/3のとき
♪の条件は★より
f(3)≦1すなわち9a-3≦1である

この条件の決め方がわかれば何とかなりそうなんです。

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

問題で問われている事がはっきりしません。
問題はきちんと書いてください。

以下は、私の「問題の推定」によるヒントです。

0≦ax^2-2x+3≦1より、2x-3≦ax＾2≦2x-2。
aは正の数より、(2/a)(x-3/2)≦x＾2≦(2/a)(x-1)となる‥‥‥(1).
これを、xy平面上にグラフを書いてy＝x＾2とy＝(2/a)(x-3/2)とy＝(2/a)(x-1)が、1≦x≦3で(1)を満たすaの値の範囲を求めると良い。

＃　aが正の整数という条件もおかしいですし、1≦x≦3というxの範囲も少々甘いと思います。
問題に“転記ミス”はないですか？

回答No.5

ZeusSeesSuez

グラフで考えれば簡単です。
まずは、座標軸を描きましょう。
次に、x軸に１,３をプロットして、そこからy軸平行な直線を描きます。
さらに、y軸に１をプロットして、そこからx軸に平行な直線を描きます。
できた(1,1)(1,3)(0,3)(0,1)を頂点とする長方形の内部を、斜線かなんかで
塗りつぶします。
最後に、下に凸の放物線を適当に(ただし、軸はx=0より右)描き、
放物線の軸とx軸の交点を1/aとプロットします。

問題は、この放物線が塗った長方形を通る(=♪)ときの条件を問うているのと同じです。
(余裕があったら、透明なシートに放物線だけ別に描いて重ね、
いろいろと位置を動かしてみてください。)

y=a(x-1/a)^2-1/a+3(aは正の整数)ってことは、
この曲線が(1/a,-1/a+3)を頂点とする、下に凸の放物線だということですね。

とりあえず、x=1のときのyの値を見てみましょう。
もしこれが常に0≦y≦1を満たすようなら、放物線は必ず長方形を通ることになります。
ここでのポイントは、x=1のときにyが0より小さいのかビンゴなのか1より大きいのか、
それともaの値によって異なるのか、を確認することです。
で、結果は★でした。
さっきのグラフの(1,1)の点の真上の適当なところに点(※)を打って、
放物線がこの点を通ることをイメージしてください。

で、(1)は放物線の軸が0と1の間にある場合です。
この放物線が※を通る場合、♪はありえないことは明らかです。

ここで困ったことがあります。aは正の整数だとすると、1/aは１以下になりますから、
(1)により、♪はありえないことになってしまいます。
ANo.2にあるようにaが整数条件だとヘンですね。"正の実数"くらいが妥当です。

とりあえず正の実数だとみなして(2)ですが、これは放物線の軸が1と3の間にある場合です。
このとき放物線は※を通ったあと頂点(1/a,-1/a+3)まで下降してそこから上昇します。
ということは、頂点のy座標(=-1/a+3)が1以下なら♪です。

ついでに、(3)は軸がxの範囲より右にある場合なので、
範囲内ではずっと下降しています。
ですから、x=3のときにy>1ではだめ、y≦1なら♪です。

この手の問題は、式だけ見ていてもなかなか分かりにくいことが多いです。
グラフを描いて考えることをお勧めします。

回答No.4

endlessriver

＞aの値によらず
＞f(1)=a+1＞1・・・なんで＞１なんでしょうか
aが正の値ということは a>0, したがって a+1>1（両辺に１を足す）。

問題を解くには＃１の方のとうりで良いです。x=1/aはグラフの底の位置ですから、

たとえば(1)1/a＜1　で底の位置が1=<x<=3の区間の左外に行くことですから1<=x<=3でf(x)は増加関数になりf(1)<=f(x)となり、f(1)<=1 となるしかありません。
ところがa+1>1なので、この条件は満たすことができず、1/a>=1にしか可能性はありません。

つぎはグラフの底(x=1/a)が1<=1/a<=3の範囲にあるときです。このときは、グラフの最小値f(1/a)がかならず指定の区間1<=x<=3にあるから、これが１以下であれば良い。すなわちf(1/a)<=1 となり、これらの2つの条件をとけば良いです。

あとは略。

回答No.2

debut

No1です。
aは正の整数ではないのでは？　の後に 「整数はいらないのでは？」　が足りなかった。

回答No.1

debut

後の話の展開をみると、ａは正の整数ではないのでは？

＞f(1)=a+1＞1・・・なんで＞１なんでしょうか
　　x=1　のとき　f(x)のグラフは問題になっている　0≦f(x)≦1　の範囲からは
　　はずれていますよ、ということを示すための ＞１ です

　後の展開は、この関数のグラフが点（１、ａ＋１）を通りつつ、頂点の x 座標の位置が
　（１）１より小さいとき
　（２）１と３の間のとき
　（３）３より大きいとき
　のそれぞれの場合で、そのグラフが１≦x≦３と０≦f(x)≦１の長方形で示される範囲を
　どんなときに通るのかを見ていくということ。

　すると、（１）のときはグラフがこの範囲を通ることはない
　　　　　（２）のときは頂点の y 座標が１以下ならこの範囲を通る
　　　　　（３）のときは f(3) の値が１以下ならこの範囲を通る
　とわかる。

　それぞれの場合でグラフをかいてみましょう。