２次関数

質問

問１．　
　ａ，ｂが整数である直線ｙ＝ａｘ＋ｂ　……(1)と次の３つの放物線がある。
　ｙ＝ｘ＾２＋３　……(2)　　ｙ＝ｘ＾２＋６ｘ＋７　……(3)　　
　ｙ＝ｘ＾２＋４ｘ＋５　……(4)　　直線(1)と放物線(2)(3)(4)との共有点の個数が２個、１個、０個であるならば、ａ，ｂの値は？　

問２.
　ａ，ｂ，ｃが全て正数で、その和が１であるとき、ａ＾２＋ｂ＾２＋ｃ＾２の
　最小値は？　そのときのａ，ｂ，ｃの値は？

２問も質問してすみません。教えて下さい。
２問ともに答えがないので、正解もわからないのです。
よろしくお願いします。

回答No.1

Magician · ベストアンサー

とりあえず、問１だけ。
（１）を、（２）（３）（４）に代入します。
ax+b=x^2+3・・・(a)
ax+b=x^2+6x+7・・・(b)
ax+b=x^2+4x+5・・・(c)

これを整理すると・・・
x^2-ax+3-b=0・・・(a)
x^2+(6-a)x+7-b=0・・・(b)
x^2+(4-a)x+(5-b)=0・・・(c)

判別式Ｄ＝b^2-4acを使うと、題意より、それぞれの判別式の解が０超、０、０未満になるので、ここで特に(b)の判別式に注目。
4b=-a^2+12a-8
と整理できるので、これを(a)(c)に代入すると
a>5/3と、a<3という風に整理できます。
　これに当てはまるaの値は２。
　で、bの値は、4b=-a^2+12a-8
に代入して、３。

回答No.6

eatern27

#5さんの公式の名前は
コーシー・シュワルツの不等式(法則?、定理?どれかは忘れた。) じゃなかったかな。
ベクトルを知っているのなら(知らなければ読み飛ばして)、この公式は (a,bの上の→は省略します)
|a|^2*|b|^2 >= (a・b)^2
この不等式の証明は簡単で
左辺＝(|a||b|cosΘ)~2=|a|^2*|b|^2 *cos^2(Θ)
0=<cos^2(Θ)=<1 だから…
後は解けるでしょ?(つーか解いてるって言うのかな?)

回答No.5

marpon

ちょっとエレガントにやろうとすれば...

a,b,c,p,q,rが0以上のとき
(a^2 + b^2 + c^2)(p^2 + q^2 + r^2) >= (ap + bq + cr)^2
という公式があるのを知ってますか？
(等号が成り立つのはa/p = b/q = c/r)

公式の名前は忘れました。受験やったのだいぶ前なので。（他の人フォローお願いします。）

上の公式でp = q = r = 1とおくと、
3 (a^2 + b^2 + c^2) >= (a + b + c)^2 = 1
を得るので、最小値は1/3となります。
等号が成り立つのはa = b = c = 1/3のとき

回答No.4

oshiete_goo

#3です.
『2次関数』という主題にこだわれば, 問2は次のようになるでしょうか.
[解]
a+b+c=1・・・(1)
a,b,c>0・・・(2)
(1)よりc=1-(a+b)・・・(1')
y=a^2+b^2+c^2 と置くと(1')より
y=a^2+b^2+{1-(a+b)}^2=a^2+b^2+{(a+b)-1}^2
=2a^2+2b^2+2ab-2a-2b+1
=2a^2+(2b-2)a+2b^2-2b+1 [aについて整理]
=2{a^2+(b-1)a}+2b^2-2b+1
=2[{a+(b-1)/2}^2-{(b-1)/2}^2]+2b^2-2b+1
=2{a+(b-1)/2}^2 -(b-1)^2/2+2b^2-2b+1 [少し煩雑ですが]
=2{a+(b-1)/2}^2 +(3/2)b^2-b+1/2
=2{a+(b-1)/2}^2 +(3/2){b^2-(2/3)b}+1/2
=2{a+(b-1)/2}^2 +(3/2)[{b-(1/3)}^2-(1/3)^2]+1/2
=2{a+(b-1)/2}^2 +(3/2){b-(1/3)}^2+1/3
ここで, {a+(b-1)/2}^2≧0, {b-(1/3)}^2≧0 であるから,
y≧1/3
ただし, 等号はa+(b-1)/2=0 かつ b-1/3=0 つまりa=b=1/3 のときで
このとき(1),(2)も考えると, c=1/3 となり,題意は満たされる.

よって最小値 1/3 (a=b=c=1/3のとき)

回答No.3

oshiete_goo

問2は＃２さんのご回答のような方法が一番自然なのですが，まだやってないとすると，少々工夫しないとうまくいかないと思われます．

[解答例]
一般に
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) ・・・(1)
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca) ・・・(2)
が成り立ちます(a,b,c の恒等式)．
また, 題意より
a+b+c=1 ・・・(3)
a,b,cは全て正・・・(4)
です.
(1)+(2)より
(a+b+c)^2+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=3(a^2+b^2+c^2)
⇔ a^2+b^2+c^2=(1/3){(a+b+c)^2+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}
　 　　　　　　=(1/3){1+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2} [(3)より]
ここで常に
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≧０　(等号は a=b=c のとき)
より, (3),(4)も考えると
a^2+b^2+c^2≧1/3　(等号はa=b=c=1/3のとき)
となり, 最小値1/3 (a=b=c=1/3のとき)
です．

回答No.2

kony0

問２について図形的に解釈すれば
平面a+b+c=1に原点から垂線を下ろした足が求める(a,b,c)で、
その垂線の長さが求める最小値の２乗です。

んー、でも高１の式をいじくるところの範囲だと、まだ空間の座標とかやってないのかもしれませんが。。。