シュレディンガー

質問

無限に深い井戸形ポテンシャルの問題です。

とき方はわかるのですが、
計算がわかりません。

ｘが-1/2から1/2の時がポテンシャル０で
あとは∞です。

φ（ｘ）＝Aexp(ikx)+Bexp(-ikx)とおいて
φ（-1/2）φ(1/2)と代入するとka=nπが出るようなのですが、そこがわかりません。

（A+B）cos(ak/2)+(B-A)isin(ak/2)=0
（A+B）cos(ak/2)+(A-B)isin(ak/2)=0
とでると思うのですが、これをとこうとするとcos(ak/2)とsin(ak/2)ともに０になるようなことになってしまいました。

どこで間違えたのでしょうか？？？？？

回答No.4

hitokotonusi · ベストアンサー

＞これをとこうとするとcos(ak/2)とsin(ak/2)ともに０になるようなことになってしまいました。

ほとんど出来てると思います。ここから辺々足し算と引き算で

（A+B）cos(ak/2)＝０
（A-B）sin(ak/2)＝０

が出たのではないですか？

この二つが両立する選択肢は３つ。わかりやすい最初の二つは

(1) A+B=0 かつ A-B=0
(2) cos(ak/2)=0 かつ sin(ak/2)=0

ですが、(1)はA=B=0という意味のない解しかありません。
(2)は三角関数の性質からありえません。残ったのが答で、

(3) [A+B=0 かつ sin(ak/2)] または [A-B=0 かつ cos(ak/2)=0]

前者はsin(ak/2)が0になる条件からak/2=nπ=、つまり k = 2nπ/a
後者はcos(ak/2)が0になる条件からak/2=nπ+π/2=(2n+1)π/2、つまり k = (2n+1)π/a

が出てきます。

>ka=nπが出るようなのですが、

k = 2nπ/aで2nをmと置き直すと、k=mπ/a (m=2,4,6,8,・・・・)
k = (2n+1)π/aの(2n+1)をmと置き直すと、k=mπ/a (m=1,3,5,・・・・）

これをまとめると

k = mπ/a (m=1,2,3,4,5,・・・・・)

となります。ただし波動関数は偶奇でサインとコサインが交代します。

お礼

ありがとうございました

回答No.3

heboiboro

「AとBの片方だけなら0になってもよい」のです。しかしAとBが両方0だとするとφは恒零関数となってしまい、いわゆる「物理的に意味のない解」になってしまいます。
そこで、考え方としては、「AとBの少なくとも片方は0でない解が存在する条件」を考えます。

まず、ご提示の式を、（cos(ak/2)とsin(ak/2)に対する方程式ではなく）AとBに対する方程式だと思ってください。
AとBについて整理して改めて式を書けば、
exp(-iak/2)A + exp(iak/2)B = 0
exp(iak/2)A + exp(-iak/2)B = 0
となります。これはAとBに関する連立一次方程式です。
線形代数の知識を思い出していただくと、これがA=B=0以外の解を持つには、係数行列の行列式が0である必要があります。
つまり、exp(-iak/2)exp(-iak/2)-exp(iak/2)exp(iak/2)=0
すなわちexp(iak)=exp(-iak)
すなわちexp(2iak)=1
これより、nを整数として 2ak=2nπ、つまりak=nπとなる必要があることが分かります。

ちなみにこのとき上の方程式を解くと、nが偶数のとき A=-B, nが奇数のとき A=Bとなります。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

noname#160321

>cos(ak/2)とsin(ak/2)ともに０になる
中学程度の数学では「ともに０」にはなりません「cos(ak/2)=0あるいはsin(ak/2)=0」になりますが…。

お礼

上の方程式解くと、
AもBも０ではないのでcos(ak/2)とsin(ak/2)ともに０ということになりませんか？？

それとも計算が間違っているのでしょうか？？

回答No.1

alwen25

φ（-1/2）=0
φ(1/2)=0
ですが。
波動関数は連続でなければなりません。

お礼

それはわかっています。
φに-1/2と1/2を代入して＝０の式を書いたのですが？？

そのあとexpiΘ＝cosΘ+isinΘ
を使って２式をだしたのですよ。