直線群の包絡線・・どうして違うんですか？

質問

直線群 x+2αy-2α^3 = 0
の包絡線の方程式を求めたいのです。
直線群をf（x,y,α）とおいて、fαを求めα=を求めました。
その後それを代入して求めたのですが・・・。
α=±3y/√3となりました。

しかし答えは16y^3=27x^2でした。

やり方が違うのならば、どうしてこのやり方が違うのでしょうか？それとも計算間違い？
何度やっても答えが出ないんですが、ヒントなどいただけませんか？

回答No.3

muturajcp

直線群x+2ay-2a^3=0　で
x+2ay=2a^3
左辺の　a　だけを変数として x と　y を定数とみなして
f(a)=x+2ay-2a^3　とおいて
f(a)をaで微分すると
f'(a)=2y-6a^2=2(y-3a^2)
f'(a)=0　のとき　3a^2=y
f(a)=x+4ay/3+2(y/3-a^2)a=x+4ay/3=0
3x=-4ay
9x^2=16a^2y^2=16y^3/3

27x^2=16y^3

回答No.2

shkwta

ヒント：
α^3 = ±(y/3)√(y/3)

√(y/3)でくくります。

お礼

あ～～なるほど！
解き方が間違っているわけではなく、タダの計算方法の違いですか。
コレにはびっくりしました。
ルートが出たときの対処法としてそう言う風にすることもできるのですね。
shkwtaさんありがとうございました。

回答No.1

shkwta

α=±√(y/3)
ではないでしょうか。yをルートの外に出してはいけないと思います。

補足

α=±√(y/3)
なるほど、そうなります・・・が。
なんだかとても複雑になってきました。
√yは絶対に残ってしまうし全体を二乗すると五乗になってしまったりと、簡単にはならない？
どうしてもxが二乗にはならないんだけれど・・。