包絡線の問題

質問

円x^2+y^2=a^2 (a>0) の円周上の点(acos(t),asin(t))　から両座標軸に下した垂線の足を結ぶ直線群の包絡線を求めないさい

という問題で、包絡線を求めるために直線群の式を立てて、
f(x,y,t)=0
という形に持って行ってそれを微分してt=の形にして式を求めようと思ったのですが、よくわかりません。

まずやり方があっているか自分でも分からず行き詰っています。

初めての質問で、至らないところもあるかとは思いますが、よろしくお願いします。

回答No.4

info22 · ベストアンサー

#1です。
A#1の補足質問の回答
>直線群の式は垂線を下ろした足を結ぶということで
>y=a*sin(t)-tan(t)x …(1)
これでOK。

>それを=0に置きなおして
>f(x,y,t)=a*sin(t)-tan(t)-y=0
xが抜けてしまったね。
f(x,y,t)=a*sin(t)-x*tan(t)-y=0

正確には
a*sin(t)-x*tan(t)-y=0　の左辺をf(x,t,0)とおく」です。
f(x,y,t)=a*sin(t)-x*tan(t)-y　…(2)

>f'(x,y,t)=a*cos(t)-x/cos^2(t)=0
(2)を何で微分するのか区別できないのでtで偏微分する意味で
f_t(x,y,t)=a*cos(t)-x/cos^2(t)　…(3)
または
∂f(x,y,t)/∂t=a*cos(t)-x/cos^2(t)
と書いた方が良いね。
-------------------------
求める曲線上の点(X,Y)は
(2),(3)の式の
f(X,Y,t)=0 …(4)
および
f_t(X,Y,t)=0 …(5)
を満たす。
(1)の直線上の点の一般座標(x,y)と求める包絡線上の座標点(X,Y)を区別して考えてください。頭の中で区別できていれば同じ座標の文字(x,y)を使っていいですが、何処までは一般座標として扱い、何処からが包絡線上の座標として扱っているか、頭の中で切り分けていないと、何をやっているのか混乱するだけです。
----------------------
>より
> x=a*cos^3(t)
X=a*cos^3(t)　…(6)
> と求めました。
これでOK。

>ここからsin(t)=
> の形に持って行ってもとの式に代入という形をとってみたのですが、
> (x/a)^(2/3)
> などが出てきてうまくまとまらないといった感じです。

(6)の式を(4)の式に代入して
Yを求めてやります。
Y= …　　…(7)
（うまいとこやってしまうとあなたの達成感七区なるので求めてください）

(6)と(7)から
(cos(t))^2と(sin(t))^2
を求めて、それを
A#1でアドバイスした
>(sin(t))^2+(cos(t))^2=1の関係を使えば、t=...の式を出さなくてもtの消去ができます。
(sin(t))^2+(cos(t))^2=1　…(8)
に代入すれば、包絡線上の座標(X,Y)は満たすX,Yの関係式…(9)が出てきます。
このとき、0≦t≦2πからX,Yは|X|≦a,|Y|≦aの範囲の値をとります。
最後に(9)のX,Yを一般の流通座標のx,yに置き換えておきます。

（この包絡線の曲線はアステロイドと呼ばれています）

お礼

丁寧に教えていただきありがとうございました。
2/3乗が出てきてアステロイドっぽい気もしたのですが、自分の方法ではそこから進めなくなってしまったので。
x=の時点でアステロイドのxの式になっていることと、それをf(x,y,t)に代入するとyの式も出てくるなんて思いもしませんでした。

ありがとうございました。

回答No.3

mister_moonlight

http://www.synapse.ne.jp/~dozono/math/anime/asteroid.htm

お礼

URLありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

なるほど, その x を最初の式に代入して消す, ですか.

お礼

x=
を代入してtが最終的に消えることは思いつかなかったので・・・。何でもやってみないといけないですね。

回答No.1

info22

>やり方があっているか自分でも分からず行き詰っています。

途中までのやり方は多分合っているでしょう。
多分というのは、途中までのあなたの解答が書いてないので、「多分」としか回答ができないのです。
補足にあなたが行き詰っている所までのあなたの解答を補足に書いて下さい。
その先の解答の続きを、あなたの補足した式を使ってアドバイスしてあげます。

[ポイント]
参考書等の定石では「t=...」を求めてf(x,y,t)=0のtに代入すると書いてあると思いますが、この問題の場合はt=...の形にはもっていけないかと思います。
柔軟に考えて、要はtを消去すれば良いだけです。
直線群の式と微分した式からtに関する項を消去してxとy（とa）だけの式を導けば良いだけです。
(sin(t))^2+(cos(t))^2=1の関係を使えば、t=...の式を出さなくてもtの消去ができます。

補足

自分では多分間違っているかなと思って、間違っている解答をここに晒すのが恥ずかしいから聞いてしまおうと思っていたのですが、せっかくのネットの場なんですし、書いてどこが間違っているのか教えてもらうのがベストですよね。すみませんでした。

直線群の式は垂線を下ろした足を結ぶということで
y=a*sin(t)-tan(t)x
と立てました。

それを=0に置きなおして
f(x,y,t)=a*sin(t)-tan(t)-y=0

f'(x,y,t)=a*cos(t)-x/cos^2(t)=0
より
x=a*cos^3(t)
と求めました。

ここからsin(t)=
の形に持って行ってもとの式に代入という形をとってみたのですが、
(x/a)^(2/3)
などが出てきてうまくまとまらないといった感じです。

改めてよろしくお願いします。