先日の質問の解答の中に

質問

「n次の等式がn+1個のｘで成り立つとき、この等式は恒等式となる」ということがいまいち実感できませんどなたか証明できないでしょうか？

回答No.2

noname#24477 · ベストアンサー

「ｎ次の方程式はちょうどｎ個の解を持つ」というのが
代数学の基本定理としてあります。
（これは大学ぐらいでやりますが、高校でも事実として
知っていても良いかなと思います）

ということは因数分解ができて、その仕方はただ一通り
に限るということです。

２次で話をして見ましょう。
ax^2+bx+c＝px^2+qx+r
という式がｘ＝１，２，３と３つの値で成り立つとします。
この式を左辺に移項して
Ａx^2＋Ｂx＋Ｃ＝０
になったとします。
ｘ＝１，２を解に持つので
Ａ(x-1)(x-2)＝０
と因数分解できます。この因数分解はただ一通りです。
さらにｘ＝３でも成り立つので代入すると＝０になる。
ということは代入すると
２Ａ＝０　よってＡ＝０
なので左辺は完全に０
だから元の式は左辺と右辺が等しい。すなわち恒等式
です。

お礼

遅れてすいません。ありがとうございました

回答No.1

tatsumi01

削除対象かどうか心配しつつ。
「n次の等式」とは「両辺がn次の多項式である等式」でしょうか。
もしそうなら移項して係数を書き換えることにより
a(n)x^n + a(n-1)x^(n-1) + a(n-2)x^(n-2) + .... a(1) = 0 ..... [1]
となります。この x に x1, x2, ...., x(n+1) の n+1 個の変数を代入し、n+1 個の連立方程式
X A = 0
ができます。ここで X は (xi^n, xi^(n-1), xi^(n-1), ..., xi) なる行ベクトルを並べた行列、A は a(i) を並べた列ベクトルです。
n+1 個の x が全部異なるなら X (ヴァン・デル・モンドの行列だと思ったが記憶不確か) は正則行列であることが簡単に判りますから、A = 0
したがって、式 [1] の左辺の係数が全部０ですから、元の二つの多項式は恒等式です。

お礼

遅れてすいません。ありがとうございました