やり方または解答を教えてください。お願いします；

質問

やり方または解答を教えてください。お願いします；

次の等式を証明せよ

(1)a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=1/2{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}

(2)(x^2+1)(y^2+1)=(xy+1)^2+(x-y)^2

(3)a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)=bc(b-c)+ca(c-a)+ab(a-b)

回答No.3

noname#157574 · ベストアンサー

(1)右辺＝1/2{a^2－2ab＋b^2＋b^2－2bc＋c^2＋c^2－2ca＋a^2}
　　　　＝1/2{2a^2＋2b^2＋2c^2－2ab－2bc－2ca}
　　　　＝(1/2)・2{a^2＋b^2＋c^2－ab－bc－ca}
　　　　＝a^2＋b^2＋c^2－ab－bc－ca＝左辺
(2)右辺＝x^2・y^2＋2xy＋1＋x^2－2xy＋y^2
　　　　＝x^2・y^2＋x^2＋y^2＋1
　　　　＝x^2(y^2＋1)＋(y^2＋1)
　　　　＝(x^2＋1)(y^2＋1)＝左辺
(3)左辺＝a^2・b－a^2・c＋b^2・c－b^2・a＋c^2・a－c^2b
　　　　＝b^2・c－bc^2＋c^2・a－ca^2＋a^2・b－ab^2
　　　　＝bc(b－c)＋ca(c－a)＋ab(a－b)＝右辺
いずれもここに書き込む前に証明できるはずです。

回答No.2

mister_moonlight

＞やり方または解答を教えてください

君は(無意識にでも)、左辺を変形して右辺になるような証明方法を考えてないか？
等式の証明なんだから、右辺を計算すれば左辺になる、という証明でも良い。
やってごらん、その方が簡単だから。

回答No.1

KEIS050162

地道に、右辺、左辺をそれぞれ展開して行けば良いです。
展開した結果それぞれ移項して　０＝０の形にすれば良いです。
もっとスマートな方法もあるかも知れませんが、地道にやる方法でも同じ答えが出るはずです。

展開とは、
例えば、１）の（ａ－ｂ）＾２　であれば、
（ａ－ｂ）＾２　＝　ａ＾２　－　２ａｂ　＋　ｂ＾２　　　とか、
２）の（ｘ＾２＋１）（ｙ＾２＋１）　であれば、
（ｘ＾２＋１）（ｙ＾２＋１）＝ｘ＾２ｙ＾２　＋　ｘ＾２　＋　ｙ＾２　＋　１
の様に、カッコを外していけばよいです。

右辺、左辺とも展開したら、それぞれの項を右辺から左辺に移項して、整理して行くと、
（整理前の多項式）　＝　０　　　　が
（整理して、それぞれの項がすべて消されて０になる）＝　０
になるはずです。

がんばってね。