センターレベル数学2B

質問

x軸上を動く動点Aがあり最初は原点にある。確率pで表が出る硬貨を投げて表が出たら正の方向に1進み、裏が出たら負の方向に1進む。硬貨を投げる試行を100回行い、そのうち表が出る回数をXとし、動点Aの座標をQとする
（1）p=1/2とするとき確率変数Xは、
平均E（X）=50
標準偏差σ（X）=5
の二項分布に従う。
（2）Q=60のとき、表が出る回数はX=80回である。ここで試行回数100は十分大きいと考えられるので、R=X/100とおけば、Q=60にあるとき、pに対する信頼度95%の信頼区間は、［？、？］と計算できる。
但し、Zを標準正規分布に従う確率変数とするとき、P（-1.96≦Z≦1.96）=0.95である。

？に入る答えは、［0.72,0.88］です。
分かる方、解説をよければお願いします(>_<)

回答No.1

akinomyoga

センターレベルという事なので適当に近似して良いのでしょうか。

N = 100 を硬貨を投げた回数とする。
p の点推定値は p ≒ R = 0.8.
X は二項分布に従うのでその分散の推定値は、
　V[X] = N p (1-p) ≒ N R(1-R) =100 × 0.8 × 0.2 = 16.
R の標準偏差の推定値は、
　σ[R] = √(V[X/N]) = √(V[X]/N^2) ≒ 0.04.
Z = (R-p)/σ[R] が標準正規分布に従っていると見做しても良いとすると、
　-1.96≦ (R-p)/σ[R] ≦1.96,
　R-1.96σ[R] ≦ p ≦ R+1.96σ[R],
　0.7216 ≦ p ≦ 0.8784.
大体 p ∈ [0.72, 0.88]■.