共分散で分かること

質問

文系ですが、今ゼロからシリーズの統計確率を読んでいます。その中で共分散という言葉がでてきます。その式は
　Ｃ（Ｘ，Ｙ）＝Ｅ（ＸＹ）－Ｅ（Ｘ）Ｅ（Ｙ）
というもので、その解説の前の問題で
　赤球３個、白球２個、青球１個　計６個より無作為に２個取り出すとき、赤球の個数をＸ、白球の個数をＹとして
ちょうど　、上の式　共分散の式で、値が、－４／１５
とでています。　これで何が分かるのでしょう
その前の問題では、同時確率分布、周辺分布ほ求めていますが、これは、理解できます。

回答No.2

shkwta · ベストアンサー

x＝Ｘ－Ｅ(Ｘ)
y＝Ｙ－Ｅ(Ｙ)
とおくと、xとyは平均が0の分布になります。

Ｅ(xy)＝Ｅ(ＸＹ)－Ｅ(ＹＥ(Ｘ))－Ｅ(ＸＥ(Ｙ))－Ｅ(Ｅ(Ｘ)Ｅ(Ｙ))
＝Ｅ(ＸＹ)－Ｅ(Ｘ)Ｅ(Ｙ)＝Ｃ(Ｘ,Ｙ)

ということで、Ｅ(xy)は共分散です。

Ｅ(xy)が正だということは、x＞0 and y＞0 であったり、x＜0, y＜0であることが多いことを意味します。xy座標でいうと、第１象限、第３象限の点が、共分散を大きくするのに寄与します。それも、原点から遠い点ほど寄与が大きくなります。

Ｅ(xy)が負だということは、x＞0 and y＜0 であったり、x＜0, y＞0であることが多いことを意味します。xy座標でいうと、第２象限、第４象限の点が、共分散を小さくするのに寄与します。それも、原点から遠い点ほど寄与が大きくなります。

ということで、共分散が正であることは、Ｘが大きくなるとＹも大きくなる傾向があることを示します。共分散が負であることは、Ｘが大きくなるとＹが小さくなる傾向があることを示します。

ご質問の例では、取り出す球の個数は２個と限られていますので、当然ながら、赤が増えれば白が減る、白が増えれば赤が減るという傾向があります。共分散が負であることは、この傾向を反映しています。

共分散を、Ｘの標準偏差とＹの標準偏差で割ったものを相関係数といい、Ｘ・Ｙのスケールに影響されないので、ＸとＹの関係を把握するのに便利です。

お礼

分散の１種であることは、なんとなく想像していたのですが、たとえで、負の傾向の意味が分かりました。そういえば、正の相関、負の相関というのが、ありましたが、すっかり、忘れていました。最後まで読めば、意味がつながるのかも、しれませんか。ありがとうございます

回答No.3

shkwta

No.2です。
訂正します。
４行目の最後の符号はプラスです。
Ｅ(xy)＝Ｅ(ＸＹ)－Ｅ(ＹＥ(Ｘ))－Ｅ(ＸＥ(Ｙ))＋Ｅ(Ｅ(Ｘ)Ｅ(Ｙ))

回答No.1

sunasearch

簡単に言うと、

E(XY)が大きくなると、C(X,Y)も大きくなりますので、
XとYが同時に大きな値を取るほど、その平均であるE(XY)ならびに共分散C(X,Y)が大きくなります。

そのため、二つの変量X,Yの間の相関関係を調べることができます。

参考URL：

http://akimichi.homeunix.net/~emile/aki/medical/Stat/#***%20共分散

お礼

参考ページありがとうございます。意味するところ、わかったような気がします。なにしろ、難しいですね