ｎ階線形微分方程式

質問

こんな問題です。
定数係数n階線形微分方程式
y^(n) + p1y^(n-1) + p2y^(n-2) + … + pny = 0
（ただしp1,p2…pnは定数）の解y1,y2…ynの線形和
y =ΣCiyi（Ciは定数）
が再び解になることを証明せよ。
これってどうすればいいのでしょうか？

回答No.2

zk43 · ベストアンサー

微分作用素は線形だから、
y^(k)=Σciyi^(k)（k=0,1,2,…,n）
が成り立つ。
これで、y^(n)+p1y^(n-1)+p2y^(n-2)+…+pnyを作ってみれば、
Σの中がCiでくくれて、yiが解であることから、0になる。

k階の微分作用素をD^(k)と表わすと、D^(k)y=y^(k)で、この微分方程式
は、
（D^(n)+p1D^(n-1)+p2D^(n-2)+…pn）y=0
と表せ、yにかかっている微分作用素をD1とおくと、
D1y=0
と表せる。
D1はD1(c1y1+c2y2)=c1D1y1+c2D1y2のように線形の性質がある。
（これが線形微分方程式の線形といわれるゆえんである。）
つまり、D1は関数空間の間の線形写像になっている。
D1y=0の解を求めるということは、線形代数でいうところの線形写像D1
の核（kernel）を求めるということで、当然、解全体の集合は線形空間
（部分空間）をなしている。したがって、解の線形結合も解になってい
る。

回答No.1

Tacosan

代入する.