数学２ 軌跡の方程式の問題で

質問

おはようございます。
早速ですが教えて下さい。

問

２点Ａ(-6,0),Ｂ(2,0)に対して、AP:BP＝1:mを満たす点Ｐの軌跡の方程式がx^2+y^2+14x+n=0であるとき、正の数m,nを求めよ。

この問題の解き方で
AP:BP=1:m
mAP=BP
m^2AP^2=BP^2
m^2{(x+6)^2+y^2}=(x-2)^2+y^2
m^2(x^2+12x+36+y^2)=x^2-4x+4+y^2
(m^2-1)x^2+(12m^2+4)x+(m^2-1)y^2+36m^2-4=0
これとx^2+y^2+14x+n=0を係数比較するところまでは理解できましたが、その後、
12m^2+4=14(m^2-1)
36m^2-4=n(m^2-1)
とする理由が分かりません。
どうしてなのか教えて下さい。

途中式が間違っている可能性があります。おかしなところがありましたら、ご指摘下さい。
よろしくお願いします。

回答No.1

パんだ パンだ（@Josquin） · ベストアンサー

(m^2-1)x^2+(12m^2+4)x+(m^2-1)y^2+36m^2-4=0
x^2+y^2+14x+n=0
この２つが同値でなければならないので、このまま係数比較するのではなくて、x^2、y^2の係数が等しくなるように（つまり、下の式を(m^2-1)倍する）してから係数比較してください。

あるいは、下の式をつかって、上の式からｙを消去していいです。

お礼

お早い回答ありがとうございます。

このまま係数比較してはいけないんですね。てっきりこのままして良いものだとばかり……

よくわかりました。
回答ありがとうございました。

回答No.3

hinebot

本問の場合、軌跡の方程式は円ですね。
（円に限らず図形の方程式全般に言えることですが）
一般に
x^2+y^2+px+qy+r = 0
とこの係数（式全体）をk倍した
kx^2+ky^2+kpx+kqy+kr = 0
は、同じ図形を表します。（これは理解できますよね？）

で、
(m^2-1)x^2+(12m^2+4)x+(m^2-1)y^2+36m^2-4=0
のx^2とy^2 の係数が同じ m^2-1 であり、
与えられた軌跡の方程式　x^2+y^2+14x+n=0
のx^2とy^2 の係数が 1 なので、
m^2-1 = 1
とするのではなく、
x^2+y^2+14x+n=0　の係数（式全体）をm^2-1倍したものが
(m^2-1)x^2+(12m^2+4)x+(m^2-1)y^2+36m^2-4=0
であると考えるわけです。

なぜかというと、
仮にm^2-1 = 1　とすると m^2 = 2
これをxの係数に代入すると
12m^2 +4 = 24+4 = 28
となり、 14　と一致しないからです。

お礼

回答ありがとうございます。

詳しくお教え頂き、本当に感謝の限りです。
しっかり勉強して自分のものにしたいと思います。

ありがとうございました。

回答No.2

tarame

＞(m^2-1)x^2+(12m^2+4)x+(m^2-1)y^2+36m^2-4=0
＞これとx^2+y^2+14x+n=0を係数比較するところまでは理解できました

係数を比較したいので、１つの項の係数をそろえます！
そこで、x^2+y^2+14x+n=0　の両辺を (m^2-1)倍します！
(m^2-1)x^2+(m^2-1)y^2+14(m^2-1)x+n(m^2-1)=0
これで、比較します。

お礼

回答ありがとうございます。

係数比較するときに、係数を合わせておくということを知りませんでした。
いつもそのままで大丈夫だと勘違いしてました……

精進します。
ありがとうございました。