数学の質問

質問

点A(6,-4)に対して、点Pが円 x^2+y^2=2の周上を動くとき、次の点の軌跡を求めよ。
(1) 線分APの中点M

回答で、点Pの座標を(s,t)、　点Mの座標を（x,y)とおいて、なんか計算して
s=2x-6,t=2y+4
が出て、これらを　x^2+y^2=2　に代入すると
点（3,-2)を中心とする半径(√2)/2 の円をあらわす方程式が出て、それが点Mの軌跡らしいんですけど、なぜこの方程式が点Mの軌跡なんですか？なぜs=2x-6,t=2y+4を代入したんですか？
式や数値がなくてもかまわないので、できるだけわかりやすく教えてください　お願いします！

回答No.2

karamarimo · ベストアンサー

要するにxとyだけの方程式を求めれば、それがxとyの関係を表すので、その方程式が表す図形がM(x,y)の軌跡となるわけです。

一応解答書いときます。

<解答>
APの中点がMだから
x = (s+6)/2 …【1】
y = (t-4)/2 …【2】

Pは円上にあるから
s^2+t^2 = 2 …【3】

(【1】～【3】からxとyだけの式を求めるために、sとtを消す)

【1】、【2】よりs = 2x-6、t = 2y+4
これを【3】に代入して整理
(x-3)^2+(y+2)^2 = 1/2

回答No.1

tsuyoshi2004

条件を考えて、絵を描いてみてください。

x^2+y^2=2が(0,0)を中心とした半径√2の円であることは明白ですね？
その円周とある一点との中点を結んだ図形が大きさ１／２の相似になるのも明確です。
相似なので、中心も当然中心とある点との中点になります。

この問題って、代数として考えるとややこしそうですが、幾何として考えれば割と簡単ではと思います。

補足

幾何ってグラフとかに書いてやるってことですかね？
確かに簡単でした。

できれば代数としての考え方を知りたいです
この問題に限らず他の軌跡の問題でも同じことがわからないんです…