数学の問題教えていただきたい

質問

行列 |　1-t 　t |
　　　| -t 　 1+t |
によって　c: x^2 + y^2 = 1/2 が移される図形を c'とする。
tがすべての実数を動くときc'が通過しうる点(x,y)の集合を求めよ。

　という問題がわかりません。その前の問題で(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)の四点を頂点とする
四角形"s" を同じ行列で移すとどのような図形になるか？　という問題は解け、また cはｓに内接するということはわかったのですが
そこからどうしていいのかわかりません。

　どなたか教えてください。お願いします。

回答No.3

springside · ベストアンサー

問題の行列をAとします。以下の手順で解けます。

(x,y)をAで移した点を(x',y')とすると、
　(x',y')=A(x,y)
なので、
　(x,y)=A^(-1)(x',y')　注：A^(-1)はAの逆行列
となります。

上式によって、x,yを求め、それを元の式x^2+y^2=1/2に代入すると、x',y',tの式※ができます。

tは全ての実数を動くわけなので、※をtの2次方程式と見ると、tが実数解をもつわけなので、判別式≧0です。

この「判別式≧0」という式は、x',y'の不等式になりますが、それが、求めたい「通過しうる点」の集合になります。

お礼

丁寧に教えていただいてありがとうございました！
xとyを代入するところまではできていたのですが、判別式を使うのは思いつきませんでした！

回答No.2

Nao_F

この行列を A、この行列の逆行列を A'、
c 上の点 (x, y) を A で変換して得られた点を (x', y') とすると、

(x, y)＝(x', y')A'＝・・・これを展開すると、x と y を x' と y' で表せます。
その結果を c の式に代入して整理すると、x' と y' の関係がわかるはず。

逆行列の作り方を忘れたので（笑）私はここまでです。あとは自力で計算してください。

お礼

逆行列を使えばよかったんですね。基本を忘れていました。ありがとうございました！

回答No.1

proto

点(x,y)が与えられた行列Aによって
点(x',y')に写されたとすると

　(x',y')=(x,y)A
　　　　　=((1-t)*x-t*y,t*x+(1-t)*y)
(x',y')をc: x^2 + y^2 = 1/2に代入すると
　　c': x^2+y^2=1/(2*(t^2+(1-t^2)))
つまり行列Aにより
cはc'に変換されます
これは中心(0,0)、半径1/sqrt(2*(t^2+(1-t^2)))の円です
この先は分かると思います