高校数学です！困ってます！

質問

xy平面上に2つの放物線
C1:y=x^2
C2:y=-2x^2+ax+b
がある。正の実数tに対してC2はC1上の点(t,t^2)を通りその点でのC1の接線とC2の接線は垂直であるとする

(1)a,bをtで表せ
(2)C1とC2で囲まれた面積

(3)tが変化するとき、Sの最小値を求めよ

お願いします！

回答No.4

EN0123

C2とC1の交点のx座標は
C2-C1 = -2x^2+ax+b-x^2 = -3x^2+ax+b = 0
の解ですので、

-3x^2+ax+b = 0

の２つの解をα、β(α<β)とすれば
C2とC1で囲まれた部分の面積Ｓが

(*) Ｓ = ∫[α→β]-3(x-α)(x-β)dx

ここまではＯＫですね。
これ、直接計算すると大変なことになりますが、以下の公式

(#) ∫[α→β]-(x-α)(x-β)dx = {(β-α)^3}/6

があります。便利だし、証明大変なので、暗記してもいいかもしれないです。

実際(#)は
∫[α→β](x-α)(x-β)dx = ∫[α→β](x-α)(x-β)dx
= ∫[α→β](x-β+β-α)(x-β)dx
= ∫[α→β](x-β)(x-β)+(β-α)(x-β)dx
= ∫[α→β](x-β)^2+(β-α)(x-β)dx
= [{(x-β)^3}/3+(β-α){(x-β)^2}/2][β,α](xにβを代入すると0)
= [-{(α-β)^3}/3-(β-α){(α-β)^2}/2]
= -{(β-α)^3}/6

-3x^2+ax+b = 0の解がα、βだったので
二次方程式の解の公式使って、β-αを求めると

β-α = 2√(a^2+12b)/6
= √(a^2+12b)/3
= √{4t^2+2+1/(4t^2)}/3
= √{2t+1/(2t)}^2/3
= {2t+1/(2t)}/3

∴ β-α = {2t+1/(2t)}/3

あとは(*)(#)と組み合わせてＳをtで表すことができます。

Ｓの最小値は、
Ｓをtで表すと、2t+1/(2t)が登場しますので、こいつに相加相乗平均を使えば出ます。
2t+1/(2t) ≧ 2

お礼

分かりやすかったです！ありがとうございました！

回答No.3

sanori

そうですか。

これって、微分積分に関する問題なので、「最小値」と言われて、なんかピンと来ませんか？

Ｓをｔの関数として　Ｓ（ｔ）　と書くことにして、
Ｓをｔで１回微分したものを　Ｓ’（ｔ）　と書くことにすれば、
Ｓ’（ｔ）＝　０　となるときの　ｔ　を　Ｔ　と置けば、
Ｓ（Ｔ）　が　Ｓ（ｔ）の極値になりますよね。
それが、たぶん、こたえになりそうだと、とりあえず思えばよいです。

極値は、極大値（最大値）か極小値（最小値）のどちらかですから、Ｔではない値を適当に代入したとき、もしも極値より大きい値が出てくれたら、極値は極小値だったということが言えます。

もしも、ｔで２回微分したものでＳの「上に凸」「下に凸」の判定ができる、ということをすでに学校で教わっていたら、それを使うのが一番よいです。
２回微分した結果に、極値のところのｔ（＝Ｔ）を代入したら負になるようだったら下に凸ということなので、前に述べた極値は極小値だったということが証明できたことになります。

お礼

そう考えればいいんですね！ありがとうございます！

回答No.2

sanori

こんにちは。

（１）
Ｃ１の傾きを表す関数は、ｙ’＝　２ｘ
Ｃ２の傾きを表す関数は、ｙ’＝　－４ｘ＋ａ

（ｔ，ｔ^2）における傾きは、
Ｃ１が　２ｔ
Ｃ２が　－４ｔ＋ａ

両者が垂直なので、傾きの積は　－１
２ｔ（－４ｔ＋ａ）　＝　－１
変形すると
－４ｔ＋ａ　＝　－１／（２ｔ）
ａ　＝　－１／（２ｔ）　＋　４ｔ
これで　ａ　はわかりました。

（ｔ，ｔ^2）は、Ｃ２　の上にあるので、
ｔ^2　＝　－２ｔ^2　＋　ａｔ　＋　ｂ
これに、ａ＝…　を代入すると、ｂ　も求まります。

（２）
Ｃ１　と　Ｃ２　の２つの交点のＸ座標を求めます。
そのうち、左の交点のＸ座標を　ｐ、右の交点のＸ座標を　ｑ　と置きます。
すると、
面積　＝　∫[x=p⇒q]（Ｃ２の方程式　－　Ｃ１の方程式）ｄｘ
　＝　∫[x=p⇒q]｛（-2x^2+ax+b）　－　ｘ^2｝ｄｘ
なぜこうなるかというと、Ｃ２は山があって、Ｃ１は谷がある形なので、間のところがＣ１とＣ２で囲まれるからです。

（３）
Ｓって何ですか？

補足

詳しく有難うございます！！

書いてなくてすみませんっ；；
（２）で求めた面積がＳです！

回答No.1

DJ-Potato

(1)
C1 : y' = 2x
C2 : y' = -4x + a

2t * (-4t + a) = -1
-8t^2 + 2at = -1
2at = 8t^2 - 1
a = 4t - 1/(2t)

b = y + 2x^2 - ax = t^2 + 2t^2 - 4t^2 + 1/2
= 1/2 - t^2

(2)
y = -2x^2 + {4t - 1/(2t)}x + 1/2 - t^2
= -2 [ x^2 - {t + t - 1/(4t)}x + t^2 -1/4
= -2 ( x - t ){ x - t + 1/(4t)}

S = |∫[t~t-1/(4t)] (3x^2- ax - b )dx|

お礼

シンプルで分かりやすくありがとうございました！