ラプラス変換

質問

縦の軸がf(t)で横軸が時間の波形が示されています。
このラプラス変換を求めよという問題です。
波形は下のようにぎざぎざなグラフになっていて、
f(T)=f(3T)=f(5T)=1
f(0)=f(2T)=f(4T)=0です。
少し分かりづらいかもしれませんが、よろしくお願いします。
ちなみに答えは1/Ts^2(1-e^(-sT)/1+e^(-sT))

↑／＼／＼／＼
→0,T,2T,3T

回答No.1

pascal3141 · ベストアンサー

f(t)が2Tの周期関数なので、f(t+2T)=f(t)となり、∫(t=0～t=∞)f(t)exp(-st)dt=∫(t=0～t=T)f(t)exp(-st)dt+∫(t=T～t=2T)f(t)exp(-st)dt+∫(t=4T～t=6T)f(t)exp(-st)dt+…=(1+exp(-2sT)+exp(-4sT)+…)×∫(t=0～t=2T)f(t)exp(-st)dt（注：ｔ=x+2T…と置き換えるといい）すると、最初の無限級数は、1/(1-exp(-2sT))となる。後の積分は、∫(t=0～t=2T)f(t)exp(-st)dt=∫(t=0～t=T)f(t)exp(-st)dt+∫(t=T～t=2T)f(t)exp(-st)dt=∫(t=0～t=T)(t/T)exp(-st)dt+∫(t=T～t=2T)((2T-t)/T)exp(-st)dtとなり個別に積分して、(1-exp(-sT))^2/Ts^2となる。これらを掛け合わせれば求める答えが出ます。